giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: tính đơn điệu của hàm số

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Giải tích 12 Nâng cao: Tính Đơn Điệu của Hàm Số Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và chuyên sâu trong việc giải các bài tập về tính đơn điệu của hàm số, thuộc phần Câu hỏi và Bài tập, Luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. **I. Tổng quan về phương pháp giải** Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường thực hiện các bước sau: 1. **Xác định tập xác định của hàm số.** 2. **Tính đạo hàm cấp nhất \(y'\) của hàm số.** 3. **Tìm các điểm mà \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định.** Đây là các điểm tới hạn. 4. **Lập bảng biến thiên** để xét dấu của \(y'\) trên các khoảng xác định. * Nếu \(y' > 0\) trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. * Nếu \(y' < 0\) trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó. 5. **Kết luận về tính đơn điệu của hàm số.** **II. Giải chi tiết các bài tập** **A. Câu hỏi và Bài tập** **Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:** a) \(y = 2x^3 + 3x^2 + 1\) * Tập xác định: \(\mathbb{R}\) * \(y' = 6x^2 + 6x = 6x(x + 1)\) * \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = -1\) | Khoảng | \(x\) | \(y'\) | Hàm số | | ---------------- | ------- | -------- | -------- | | \((-\infty; -1)\) | \(x < -1\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | | \((-1; 0)\) | \(-1 < x < 0\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | | \((0; +\infty)\) | \(x > 0\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty; -1)\) và \((0; +\infty)\), nghịch biến trên \((-1; 0)\). b) \(y = x^3 - 2x^2 + x + 1\) * Tập xác định: \(\mathbb{R}\) * \(y' = 3x^2 - 4x + 1\) * \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 1\) | Khoảng | \(x\) | \(y'\) | Hàm số | | ---------------- | ------- | -------- | -------- | | \((-\infty; \frac{1}{3})\) | \(x < \frac{1}{3}\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | | \((\frac{1}{3}; 1)\) | \(\frac{1}{3} < x < 1\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | | \((1; +\infty)\) | \(x > 1\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty; \frac{1}{3})\) và \((1; +\infty)\), nghịch biến trên \((\frac{1}{3}; 1)\). c) \(y = x + \frac{3}{x}\) * Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) * \(y' = 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 3}{x^2}\) * \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}\) | Khoảng | \(x\) | \(y'\) | Hàm số | | ---------------- | ------- | -------- | -------- | | \((-\infty; -\sqrt{3})\) | \(x < -\sqrt{3}\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | | \((-\sqrt{3}; 0)\) | \(-\sqrt{3} < x < 0\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | | \((0; \sqrt{3})\) | \(0 < x < \sqrt{3}\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | | \((\sqrt{3}; +\infty)\) | \(x > \sqrt{3}\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty; -\sqrt{3})\) và \((\sqrt{3}; +\infty)\), nghịch biến trên \((-\sqrt{3}; 0)\) và \((0; \sqrt{3})\). d) \(y = x - \frac{2}{x}\) * Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) * \(y' = 1 + \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 + 2}{x^2} > 0\) với mọi \(x \neq 0\) Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty; 0)\) và \((0; +\infty)\). e) \(y = x^4 - 2x^2 - 5\) * Tập xác định: \(\mathbb{R}\) * \(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1)\) * \(y' = 0 \Leftrightarrow x = -1, 0, 1\) | Khoảng | \(x\) | \(y'\) | Hàm số | | ---------------- | ------- | -------- | -------- | | \((-\infty; -1)\) | \(x < -1\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | | \((-1; 0)\) | \(-1 < x < 0\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | | \((0; 1)\) | \(0 < x < 1\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | | \((1; +\infty)\) | \(x > 1\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | Vậy hàm số nghịch biến trên \((-\infty; -1)\) và \((0; 1)\), đồng biến trên \((-1; 0)\) và \((1; +\infty)\). f) \(y = \sqrt{4 - x^2}\) * Tập xác định: \([-2; 2]\) * \(y' = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}\) * \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) | Khoảng | \(x\) | \(y'\) | Hàm số | | ---------------- | ------- | -------- | -------- | | \([-2; 0)\) | \(-2 < x < 0\) | \(y' > 0\) | Đồng biến | | \((0; 2]\) | \(0 < x < 2\) | \(y' < 0\) | Nghịch biến | Vậy hàm số đồng biến trên \([-2; 0]\) và nghịch biến trên \([0; 2]\). **Bài 2. Chứng minh rằng:** a) Hàm số \(y = \frac{x - 2}{x + 2}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. * Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\) * \(y' = \frac{4}{(x + 2)^2} > 0\) với mọi \(x \neq -2\) Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty; -2)\) và \((-2; +\infty)\). b) Hàm số \(y = \frac{-x^2 - 2x + 3}{x + 1}\) nghịch biến trên mỗi khoảng của nó. * Tập xác định: \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) * \(y' = \frac{-x^2 - 2x - 5}{(x + 1)^2} < 0\) với mọi \(x \neq -1\) Vậy hàm số nghịch biến trên \((-\infty; -1)\) và \((-1; +\infty)\). **Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau đồng biến trên \(\mathbb{R}\):** a) \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 17x + 4\) * \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 17 = 3(x - 2)^2 + 5 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). b) \(f(x) = x^3 + x - \cos x - 4\) * \(f'(x) = 3x^2 + 1 + \sin x > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (vì \(3x^2 \geq 0\) và \(1 + \sin x \geq 0\)). Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). **Bài 4. Với giá trị nào của \(a\), hàm số \(y = ax - x^3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?** * \(y' = a - 3x^2\) * Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần \(y' \leq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). * \(a - 3x^2 \leq 0 \Leftrightarrow a \leq 3x^2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). * Vì \(3x^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \(a \leq 0\). Kết luận: Với \(a \leq 0\), hàm số \(y = ax - x^3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). **Bài 5. Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).** * \(f'(x) = x^2 + 2ax + 4\) * Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). * Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\Delta' = a^2 - 4 \leq 0 \Leftrightarrow -2 \leq a \leq 2\). Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(-2 \leq a \leq 2\). **B. Luyện tập** (Các bài tập trong phần luyện tập được giải tương tự như các bài tập trên, sử dụng các bước và phương pháp đã trình bày.) **III. Lời khuyên và động viên** Chúc mừng bạn đã hoàn thành việc ôn tập và giải các bài tập về tính đơn điệu của hàm số! Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Giải tích, và việc nắm vững nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó hơn. Hãy tiếp tục luyện tập thường xuyên, tìm tòi các bài tập mới và đừng ngại hỏi khi gặp khó khăn. Sự kiên trì và nỗ lực của bạn chắc chắn sẽ mang lại thành công!