giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Khảo Sát Hàm Phân Thức Hữu Tỉ - Giải Tích 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ. Đây là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về đạo hàm, giới hạn và các kỹ năng phân tích hàm số. **I. Tổng Quan về Phương Pháp Khảo Sát Hàm Số** Trước khi đi vào giải các bài tập cụ thể, chúng ta cùng nhắc lại các bước cơ bản trong phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số: 1. **Xác định tập xác định của hàm số.** 2. **Tính đạo hàm cấp nhất y' và tìm các điểm cực trị.** 3. **Lập bảng biến thiên.** 4. **Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có).** 5. **Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.** 6. **Vẽ đồ thị.** **II. Giải Chi Tiết Các Bài Tập** **Bài 49:** a) **Khảo sát hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{2x + 1}}\)** * **Tập xác định:** \(D = R \setminus \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}\). * **Đạo hàm:** \(y’ = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \in D\). Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\). * **Không có cực trị.** * **Tiệm cận đứng:** \(x = – \frac{1}{2}\) (do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} \frac{{x – 2}}{{2x + 1}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x – 2}}{{2x + 1}} = – \infty \)). * **Tiệm cận ngang:** \(y = \frac{1}{2}\) (do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x – 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\)). * **Giao điểm với trục Ox:** \(A(2;0)\). * **Giao điểm với trục Oy:** \(B(0;-2)\). b) **Chứng minh giao điểm I của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.** * **Giao điểm I:** \(I = \left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\). * **Đổi trục tọa độ:** Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} x = – \frac{1}{2} + X \\ y = \frac{1}{2} + Y \end{array}} \right.\). * **Biến đổi hàm số:** Sau khi thay thế và rút gọn, ta được \(Y = – \frac{5}{{4X}}\). * **Kết luận:** Hàm số \(Y = – \frac{5}{{4X}}\) là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ. Vì vậy, đồ thị của hàm số ban đầu đối xứng qua điểm \(I\), tức là \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị. **Bài 50:** (Tương tự như Bài 49, thực hiện các bước khảo sát tương tự cho từng hàm số.) **Bài 51:** (Tương tự như Bài 49, chú ý đến việc tìm cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên.) **Bài 52:** (Tương tự như Bài 49, chú ý đến việc xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và tiệm cận.) **Bài 53:** (Tương tự như Bài 49, kết hợp với việc tìm phương trình tiếp tuyến.) **Bài 54:** (Tương tự như Bài 49, chú ý đến việc suy luận đồ thị từ đồ thị đã cho.) **Bài 55:** (Tương tự như Bài 49, kết hợp với việc tìm phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước.) **Bài 56:** (Tương tự như Bài 49, chú ý đến việc xác định tính đối xứng của đồ thị.) **III. Lời Khuyên và Khích Lệ** Các bài tập về khảo sát hàm số đòi hỏi sự kiên nhẫn và tỉ mỉ. Để nắm vững phương pháp, bạn cần: * **Nắm vững lý thuyết:** Hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, giới hạn, tiệm cận và các loại hàm số. * **Luyện tập thường xuyên:** Giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng. * **Kiểm tra lại kết quả:** Luôn kiểm tra lại các bước tính toán và kết quả để đảm bảo tính chính xác. * **Sử dụng công cụ hỗ trợ:** Sử dụng máy tính cầm tay hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra lại kết quả và trực quan hóa đồ thị hàm số. Đừng nản lòng nếu gặp khó khăn. Hãy cố gắng hết mình và tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi cần thiết. Chúc bạn thành công trên con đường chinh phục môn Toán!