Giải Toán Giải Bài Tập Sgk Giải Tích 12 Nâng Cao: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số

Quý độc giả đang tham khảo tài liệu , được biên soạn bám sát chuẩn học toán mới nhất. Nội dung được cấu trúc chặt chẽ, phân tầng từ cơ bản đến nâng cao, hỗ trợ củng cố và mở rộng kiến thức toán học một cách hệ thống. Hãy tận dụng tối đa tài liệu này để nâng cao hiệu quả học tập và chinh phục mọi kỳ kiểm tra, kỳ thi với kết quả xuất sắc.

Chào các em học sinh thân mến!

Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào việc giải các bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Đây là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về giới hạn và các dạng hàm số. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết, kèm theo đánh giá và nhận xét về các bài giải, đồng thời động viên các em không ngừng cố gắng để đạt kết quả tốt nhất.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 34. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x – 2}}{{3x + 2}}\).
b) \(y = \frac{{ – 2x – 2}}{{x + 3}}\).
c) \(y = x + 2 – \frac{1}{{x – 3}}\).
d) \(y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}}\).
e) \(y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}}\).
f) \(y = \frac{x}{{{x^3} + 1}}\).

a) Tập xác định: \(R\backslash \left\{ { – \frac{2}{3}} \right\}\). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \frac{1}{3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \frac{1}{3}\) nên đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \)). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{2}{3}} \right)}^ – }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = – \frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {\left( { – \frac{2}{3}} \right)^ – }\)). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{2}{3}} \right)}^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = – \frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {\left( { – \frac{2}{3}} \right)^ + }\)).

b) Tập xác định: \(R\backslash \{ – 3\} .\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – 2\) nên đường thẳng \(y = – 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \)). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 3)}^ – }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = -3\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {( – 3)^ – }\)) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 3)}^ + }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = – 3\) cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {( – 3)^ + }\)).

c) Tập xác định: \(R\backslash \{ 3\} .\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {3^ – }\) và khi \(x \to {3^ + }\)). Đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to – \infty \) và \(x \to + \infty \)). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {x + 2 – \frac{1}{{x – 3}} – (x + 2)} \right]\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – \frac{1}{{x – 3}}} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 2 – \frac{1}{{x – 3}} – (x + 2)} \right] = 0.\)

d) Cách 1: Hướng dẫn: Viết lại \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4} + \frac{{23}}{{4(2x + 1)}}.\) Tập xác định: \(R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}\). Làm tương tự câu c để có \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên, \(x = – \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng. Cách 2: \(y = \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}}\). Tập xác định: \(R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}\). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = – \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^ \pm }\)). Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{x(2x + 1)}} = \frac{1}{2}\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}} – \frac{1}{2}x} \right]\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 7x + 8}}{{4x + 2}} = – \frac{7}{4}\) nên đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)). Ta cũng có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{x(2x + 1)}} = \frac{1}{2}\), \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {\frac{{{x^2} – 3x + 4}}{{2x + 1}} – \frac{1}{2}x} \right] = – \frac{7}{4}\) nên đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x – \frac{7}{4}\) cũng là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to – \infty \)).

e) Hàm số xác định trên \(R\backslash \{ \pm 1\} .\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = + \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {1^ \pm }\)). Cũng có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = -1\) cũng là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \(x \to {( – 1)^ – }\) và \(x \to {( – 1)^ + }\)). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{{x^2} – 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to – \infty \) và \(x \to + \infty \)). Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng \(x = \pm 1\) và một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0.\)

f) \(y = \frac{x}{{{x^3} + 1}}\): hàm số xác định trên \(R\backslash \{ – 1\} .\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{{x^3} + 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 0\), tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{x}{{{x^3} + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị (khi \(x \to – \infty \) và khi \(x \to + \infty \)). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{x}{{{x^3} + 1}} = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ + }} \frac{x}{{{x^3} + 1}} = – \infty \) nên đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng của đồ thị (khi \({x \to {{( – 1)}^ – }}\) và \({x \to {{( – 1)}^ + }}\)). Kết luận: Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\) và tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = -1.\)

Bài 35. (Tương tự như Bài 34, các em tự giải và đối chiếu với đáp án)

Bài 36. (Tương tự như Bài 34, các em tự giải và đối chiếu với đáp án)

Bài 37. (Tương tự như Bài 34, các em tự giải và đối chiếu với đáp án)

Bài 38. (Tương tự như Bài 34, các em tự giải và đối chiếu với đáp án)

Bài 39. (Tương tự như Bài 34, các em tự giải và đối chiếu với đáp án)

Các em thân mến, việc tìm hiểu và giải các bài tập về đường tiệm cận đòi hỏi sự kiên trì và cẩn thận. Hãy luôn kiểm tra lại các bước giải và đảm bảo hiểu rõ bản chất của từng khái niệm. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt!