giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: mặt nón, hình nón và khối nón

## Hướng dẫn Giải Bài Tập: Mặt Nón, Hình Nón và Khối Nón - Hình Học 12 Nâng Cao Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, tập trung vào kiến thức về mặt nón, hình nón và khối nón. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập. **Đánh giá chung:** Bộ bài tập này được xây dựng theo trình tự từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh dần làm quen và nắm vững các khái niệm, định lý liên quan đến mặt nón, hình nón và khối nón. Các lời giải được trình bày rõ ràng, có kèm hình vẽ minh họa, giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu được bản chất của bài toán. Tuy nhiên, để nâng cao hơn nữa, có thể bổ sung thêm các bài tập vận dụng thực tế và các bài toán có tính chất mở để khuyến khích tư duy sáng tạo của học sinh. ### **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 17.** Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó. b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông. **Lời giải:** a) Hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó là **hình nón**. b) Hình tròn xoay sinh bởi một tam giác (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông gọi là **khối nón**. **Bài 18.** Cho điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(S\). Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua \(A\) tiếp xúc với mặt cầu \(S\) luôn luôn nằm trên một mặt nón xác định. **Lời giải:** Giả sử \(At\) là một tiếp tuyến của mặt cầu \(S(I;R)\) với tiếp điểm \(M\). Khi đó gọi \(\Delta \) là đường thẳng \(AI\) và \(\alpha \) là góc hợp bởi đường thẳng \(At\) và \(\Delta \) thì \(\alpha = \widehat {MAI}\) và do đó \(\sin \alpha = \frac{{MI}}{{IA}} = \frac{R}{{IA}}.\) Suy ra góc \(\alpha \) không đổi. Vậy \(At\) là đường sinh của mặt nón có đỉnh \(A\), trục \(\Delta \) và góc ở đỉnh bằng \(2\alpha \). **Bài 19.** Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó. c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\). Nếu hình nón đó có chiều cao bằng \(h\) thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. **Lời giải:** a) Giả sử hình nón \((N)\) có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy \((O;r)\) (Hình vẽ). Lấy điểm \(M\) bất kỳ trên \((O; r)\) thì tam giác \(SOM\) vuông ở \(O\). Trong mặt phẳng \((SOM)\) trung trực của đoạn thẳng \(SM\) cắt \(SO\) tại \(I\). Khi đó ta có \(IS = IM\), ngoài ra do \(I\) nằm trên trục của đường tròn \((O;r)\) nên \(I\) cách đều mọi điểm của đường tròn. Do \(I\) tồn tại duy nhất khi \(M\) thay đổi trên \((O)\), suy ra một mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R = IS\) chính là mặt cầu duy nhất ngoại tiếp hình nón. b) Gọi \(SS’\) là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón \((SS’ /> h)\). Tam giác vuông \(SMS’\) vuông tại \(M\), có đường cao \(OM\). \(O{M^2} = giaitoan.edu.vn’ = h\left( {SS’ – h} \right)\). Suy ra \(SS’ = \frac{{{r^2}}}{h} + h\) \( = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{h}\). Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là \(R = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}\). c) Nếu hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\), nội tiếp mặt cầu bán kính \(R\) thì \({r^2} = h(2R – h)\). Vậy \(r = \sqrt {h(2R – h)} \). Khi đó độ dài đường sinh là \(l = SM\) \( = \sqrt {2R.h} \). Từ đó suy ra: \({S_{xq}} = \pi rl\) \( = \pi \sqrt {h(2R – h)} .\sqrt {2Rh} \) \( = \pi h\sqrt {2R(2R – h)} \). **Bài 20.** Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu nội tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp. **Lời giải:** a) Giả sử hình nón đỉnh \(S\) và có đáy là đường tròn \(C(O;R)\) (Hình vẽ). Lấy điểm \(A\) nào đó trên đường tròn và gọi \(I\) là điểm nằm trên \(SO\) sao cho \(AI\) là phân giác của góc \(\widehat {SAO}\). Khi đó khoảng cách từ \(I\) tới mọi đường sinh của hình nón bằng nhau và bằng khoảng cách \(IO\) từ \(I\) tới mặt phẳng đáy. Suy ra mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(r = IO\) chính là mặt cầu nội tiếp hình nón. Do \(I\) xác định duy nhất nên mặt cầu nội tiếp hình nón tồn tại duy nhất. b) Ta có: \(SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}} \) \( = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \). Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{IO}}{{IS}} = \frac{{OA}}{{SA}}\) \( \Rightarrow \frac{{IO}}{h} = \frac{r}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.\) Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: \(R = IO\) \( = \frac{{rh}}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.\) **Bài 21.** Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = c\), \(AC = b\). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng \(BC\). **Lời giải:** Gọi \((H)\) là hình tạo bởi tam giác \(ABC\) (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng \(BC\) (Hình vẽ). Nếu gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) thì tam giác \(BAH\) và tam giác \(CAH\) khi quay quanh \(BC\) lần lượt tạo thành hai khối nón \((H1)\) và \((H2)\). Gọi \({V_1}\) và \({V_2}\) lần lượt là thể tích hai khối nón đó ta có: \({V_H} = {V_1} + {V_2}\) \( = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}.CH.\) \( = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.BC\) \( = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{b^2}{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}.\sqrt {{b^2} + {c^2}} \) \( = \frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}.\) Vậy \({V_H} = \frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}.\) **Lời khích lệ:** Các em học sinh đã hoàn thành rất tốt việc giải các bài tập về mặt nón, hình nón và khối nón. Đây là một bước tiến quan trọng trong việc nắm vững kiến thức Hình học không gian. Tuy nhiên, để đạt được kết quả tốt hơn nữa, các em nên tiếp tục luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau, đồng thời tìm hiểu sâu hơn về các ứng dụng thực tế của kiến thức này. Hãy luôn tự tin và không ngừng cố gắng, chắc chắn các em sẽ gặt hái được nhiều thành công trên con đường học tập!