sử dụng phương pháp đại số, lượng giác giải bài toán tìm gtln – gtnn môđun số phức

Tài liệu chuyên đề: Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

Tài liệu này, với 19 trang được biên soạn công phu bởi nhóm tác giả Toán Học Bắc Trung Nam, là một nguồn tài liệu tham khảo quý giá dành cho học sinh chuyên Toán, học sinh ôn thi THPT Quốc gia và những ai yêu thích môn Toán. Tài liệu tập trung vào việc hướng dẫn chi tiết phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) – giá trị nhỏ nhất (GTNN) của môđun số phức, một dạng toán vận dụng cao (VDC) thường xuất hiện trong chương trình Giải tích 12, cụ thể ở chương 4: Số phức. Điểm nổi bật của tài liệu là các bài tập trắc nghiệm được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp người học tự kiểm tra và củng cố kiến thức một cách hiệu quả.

Nội dung chính của tài liệu được cấu trúc khoa học, bao gồm:

1. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
• 1. Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan.
• 2. Bất đẳng thức tam giác – công cụ quan trọng trong đánh giá môđun số phức.
• 3. Bất đẳng thức AM – GM (côsi) – phương pháp đánh giá hiệu quả cho các biểu thức không âm.
• 4. Bất đẳng thức Bunyakovsky (Cauchy-Schwarz) – một công cụ mạnh mẽ để đánh giá và tìm GTLN, GTNN.
2. B. BÀI TẬP VÀ KỸ THUẬT GIẢI
• Kỹ thuật 1: Đánh giá hai môđun với nhau. Kỹ thuật này tập trung vào việc sử dụng các đánh giá liên quan đến môđun số phức, ví dụ như |a| + |b| ≥ |a + b|, |a| - |b| ≤ |a - b|,...
• Kỹ thuật 2: Dùng các bất đẳng thức đại số. Tài liệu nhấn mạnh việc vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đại số cơ bản, đặc biệt là bất đẳng thức AM – GM, để đánh giá các biểu thức liên quan đến số phức. Ví dụ: Với các số a₁, a₂,…, a_n không âm, ta có (a₁ + a₂ + … + a_n)/n ≥ ⁿ√a₁a₂…a_n.
• Kỹ thuật 3: Dồn biến. Đây là kỹ thuật quan trọng, đòi hỏi người học phải tìm mối liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức, từ đó biểu diễn biểu thức cần tìm GTLN, GTNN theo một hoặc hai biến. Việc dồn biến thường dẫn đến việc đánh giá môđun |z|.
• Kỹ thuật 4: Lượng giác hóa. Kỹ thuật này sử dụng biểu diễn lượng giác của số phức để đơn giản hóa bài toán và áp dụng các kiến thức về lượng giác để tìm GTLN, GTNN.
• Kỹ thuật 5: Sử dụng biểu thức liên hợp. Kỹ thuật này thường được sử dụng để khử mẫu hoặc đơn giản hóa biểu thức chứa căn thức, từ đó tạo điều kiện thuận lợi cho việc đánh giá.

Đánh giá và nhận xét:

Tài liệu được trình bày rõ ràng, mạch lạc, với cấu trúc logic và dễ theo dõi. Các kiến thức cơ bản được tóm tắt ngắn gọn, đầy đủ, tạo tiền đề vững chắc cho việc tiếp cận các kỹ thuật giải bài tập. Điểm mạnh của tài liệu là sự đa dạng của các kỹ thuật giải, cùng với các ví dụ minh họa chi tiết, giúp người học nắm vững phương pháp và áp dụng vào thực tế. Việc cung cấp đáp án và lời giải chi tiết cho các bài tập trắc nghiệm là một lợi thế lớn, giúp người học tự đánh giá năng lực và khắc phục những điểm còn yếu.

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến! Bài toán tìm GTLN – GTNN của môđun số phức là một dạng toán khó, đòi hỏi sự tư duy sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Tuy nhiên, đừng nản lòng trước những thử thách. Hãy kiên trì học tập, luyện tập thường xuyên, và không ngừng tìm tòi những phương pháp giải mới. Chắc chắn rằng, với sự nỗ lực không ngừng, các em sẽ chinh phục được dạng toán này và đạt được những thành công trong học tập. Chúc các em học tốt!