Giải Toán Tìm Hệ Số Hoặc Số Hạng Chứa ${x^h}$ Trong Khai Triển Chứa Điều Kiện

Quý độc giả đang tham khảo tài liệu , được biên soạn bám sát chuẩn toán mới nhất. Nội dung được cấu trúc chặt chẽ, phân tầng từ cơ bản đến nâng cao, hỗ trợ củng cố và mở rộng kiến thức toán học một cách hệ thống. Hãy tận dụng tối đa tài liệu này để nâng cao hiệu quả học tập và chinh phục mọi kỳ kiểm tra, kỳ thi với kết quả xuất sắc.

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số hoặc số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển chứa điều kiện, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Các bài toán loại này thường chưa biết $n$ trong khai triển, do đó ta thực hiện các bước:

+ Từ điều kiện bài toán tìm $n$ (hoặc các ẩn liên quan).

+ Sau đó thực hiện tương tự bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển biết $n$ đã được đề cập trước đó trên giaitoan.edu.vn.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Tìm số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}$ với $x \ne 0.$

Lời giải:

Xét phương trình $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n \ge 3}\\

{n \in Z}

\end{array}} \right..$

Phương trình $ \Leftrightarrow 5.\frac{{n!}}{{(n – 1)!}} = \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}}$ $ \Leftrightarrow 5n = \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6}.$

$ \Leftrightarrow 30 = {n^2} – 3n + 2$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = 7}\\

{n = – 4\,\,{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..$

Khi đó: ${\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}$ $ = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}.{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là:

${T_{k + 1}}$ $ = C_7^k{\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}.{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}$ $ = C_7^k.\frac{{{x^{14 – 2k}}}}{{{2^{7 – k}}}}.\frac{{{{( – 1)}^k}}}{{{x^k}}}$ $ = C_7^k.\frac{{{{( – 1)}^k}}}{{{2^{7 – k}}}}.{x^{14 – 3k}}.$

Nếu hạng tử ${T_{k + 1}}$ chứa ${x^5}$ thì: $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$

Vậy số hạng chứa ${x^5}$ là số hạng thứ $4$ trong khai triển là:

${T_6} = C_7^3.\frac{{{{( – 1)}^3}}}{{{2^4}}}.{x^5} = – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$

Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${(2 + x)^n}$, biết ${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + {( – 1)^n}C_n^n = 2048.$

Lời giải:

Ta có: ${(3 + x)^n}$ $ = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}}x$ $ + C_n^2{3^{n – 2}}{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$

Chọn $x = – 1$, ta được:

${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + {( – 1)^n}C_n^n$ $ = {(3 – 1)^n} = {2^n}.$

Từ giả thiết suy ra: ${2^n} = 2048 = {2^{11}}$ $ \Leftrightarrow n = 11.$

Suy ra: ${(2 + x)^n}$ $ = {(2 + x)^{11}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} {2^{11 – k}}{x^k}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{11}^k{2^{11 – k}}{x^k}.$

Cho $k =10$, ta được hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển là: $C_{11}^{10}.2 = 22.$

Bài 3: Trong khai triển nhị thức ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}$, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là $35.$ Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nói trên (với $n \in {N^*}$).

Lời giải:

Ta có: ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – 2k}}.$

Hệ số của số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_n^k.$

Theo giả thiết ta có: $C_n^2 – C_n^1 = 35$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n \ge 2,n \in N}\\

{\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = 35}

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n \ge 2,n \in N}\\

{\frac{{n(n – 1)}}{2} – n = 35}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n \ge 2,n \in N}\\

{{n^2} – 3n – 70 = 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 10.$

Do đó: ${\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$

Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^k$ với $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^5 = 252.$

Bài 4: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}$, biết rằng $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ ($n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$ và $x$ là số thực khác $0$).

Lời giải:

Ta có: $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n – 1)!}} + \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = 13n$ $ \Leftrightarrow n + \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6} = 13n.$

$ \Leftrightarrow 1 + \frac{{(n – 1)(n – 2)}}{6} = 13$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 70 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = 10}\\

{n = – 7\,\,{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..$

Do đó: ${\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}$ $ = {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2}} \right)^{10 – k}}{\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{20 – 5k}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển $C_{10}^k{x^{20 – 5k}}.$

Hệ số không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^4 = 210.$

Bài 5: Khai triển biểu thức ${(1 – 2x)^n}$ ta được đa thức có dạng ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Tìm hệ số của ${x^5}$ biết rằng: ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71.$

Lời giải:

Ta có: ${(1 – 2x)^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{( – 2x)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{( – 2)^k}{x^k}.$

Do đó: ${a_k} = C_n^k.{( – 2)^k}$, $\forall k = \overline {0..n} .$

Khi đó ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71$ $ \Leftrightarrow C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 71.$

$ \Leftrightarrow 1 – 2n + 4\frac{{n(n – 1)}}{2} = 71$ $ \Leftrightarrow {n^2} + 2n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = 5}\\

{n = – 7\,\,{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..$

Suy ra: ${(1 – 2x)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.} {( – 2)^k}.{x^k}.$

Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là: $C_7^5{( – 2)^5} = – 672.$

Bài 6: Tìm hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}$, biết rằng $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$

Lời giải:

Xét khai triển ${(1 + x)^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$

Chọn $x = 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $(*).$

Áp dụng công thức $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, ta có:

$(*) \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n – 1}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}.$

$ \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}.$

$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.$

$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – 1.$

Từ giả thiết ta có: ${2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Leftrightarrow n = 10.$

Khi đó: ${\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}$ $ = {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^{ – 4}}} \right)^{10 – k}}{\left( {{x^7}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^k{x^{11k – 40}}.$

Hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Leftrightarrow k = 6.$

Vậy hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^6 = 210.$

Bài 7: Tìm hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${(2 – 3x)^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$

Lời giải:

Ta có: ${(1 + x)^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$

Chọn $x = 1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $(*).$

Chọn $x = -1$, ta được: $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$

$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2$ $ + C_{2n + 1}^4 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}$ $ = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$

Từ $(*)$ suy ra: $2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)$ $ = {2^{2n + 1}}.$

$ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$

Theo giả thiết ta có: ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ \Leftrightarrow n = 5.$

Từ đó suy ra: ${(2 – 3x)^{2n}}$ $ = {(2 – 3x)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{( – 1)}^k}} C_{10}^k{2^{10 – k}}{(3x)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{( – 1)}^k}} {.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: ${( – 1)^k}{.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}.{x^k}.$

Để có hệ số chứa ${x^7}$ tương ứng với giá trị của $k$ thỏa mãn $k =7.$

Vậy hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển là: ${( – 1)^7}{.3^7}.C_{10}^7{.2^3}$ $ = – C_{10}^7{3^7}{2^3} = 2099520.$

Bài 8: Tìm hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}$, biết rằng $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7(n + 3)$ ($n$ nguyên dương, $x/>0$).

Lời giải:

Ta có: $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7(n + 3)$ $ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)!}}{{3!(n + 1)!}} + \frac{{(n + 3)!}}{{3!n!}}$ $ = 7(n + 3).$

$ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}}{6}$ $ – \frac{{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}}{6}$ $ = 7(n + 3).$

$ \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 2)}}{6}$ $ – \frac{{(n + 2)(n + 1)}}{6} = 7$ $ \Leftrightarrow (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42.$

$ \Leftrightarrow 3n + 6 = 42$ $ \Leftrightarrow n = 12.$

Khi đó: ${\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}$ $ = {\left( {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12 – k}}.$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{12}^k{\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12 – k}}$ $ = C_{12}^k{x^{\frac{{60 – 11k}}{2}}}.$

Để có hệ số chứa ${x^8}$ thì $\frac{{60 – 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow 60 – 11k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$

Vậy hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!(12 – 4)!}} = 495.$

Bài 9: Cho khai triển ${\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}} + {2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^n}$ $ = C_n^0{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^n}$ $ + C_n^1{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^{n – 1}}\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)$ $ + \ldots + C_n^{n – 1}\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right){\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^{n – 1}}$ $ + C_n^n{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^n}$ ($n$ là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó có $C_n^3 = 5C_n^1$ và số hạng thứ tư bằng $140.$ Tìm $n$ và $x.$

Lời giải:

Xét phương trình ${C_n^3 = 5C_n^1}$ (điều kiện ${n \ge 3}$).

Ta có: $C_n^3 = 5C_n^1$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = 5\frac{{n!}}{{(n – 1)!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6} = 5n.$

$ \Leftrightarrow \frac{{(n – 1)(n – 2)}}{6} = 5$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = 7}\\

{n = – 4\,\,({\rm{loại}})}

\end{array}} \right..$

Số hạng thứ tư trong khai triển là: $C_n^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^{n – 3}}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3}$ $ = C_7^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^4}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3}.$

Theo đề bài ta có: $C_7^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^4}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3} = 140$ $ \Leftrightarrow {35.2^{2x – 2}}{.2^{ – x}} = 140$ $ \Leftrightarrow {2^{x – 2}} = 4$ $ \Leftrightarrow x – 2 = 2$ $ \Leftrightarrow x = 4.$

Vậy $n = 7$ và $x = 4.$

Bài 10: Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}.$ Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$

Lời giải:

Ta có: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}}$ $ + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n$ $(1).$

Và ${(x + 2)^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}}$ $ + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + {2^3}C_n^3{x^{n – 3}}$ $ + \ldots + {2^n}C_n^n$ $(2).$

Với $n = 1$, ta có: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$ $ = \left( {{x^2} + 1} \right)(x + 2)$ $ = {x^3} + 2{x^2} + x + 2$ không thỏa mãn hệ thức ${a_{3n – 3}} = 26n.$

Tương tự với $n = 2$, cũng không thỏa mãn.

Với $n \ge 3$, ta có: ${x^{3n – 3}} = {x^{2n}}.{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}.{x^{n – 1}}.$

Suy ra hệ số chứa ${x^{3n – 3}}$ bằng tổng của tích hệ số chứa ${x^{2n}}$ trong $(1)$ với hệ số chứa ${x^{n – 3}}$ trong $(2)$ và tích hệ số chứa ${x^{2n – 2}}$ trong $(1)$ với hệ số chứa ${x^{n – 1}}$ trong $(2).$

Hay ta có: ${a_{3n – 3}} = {2^3}.C_n^0.C_n^3 + 2.C_n^1.C_n^1$ $ \Leftrightarrow {2^3}.1.\frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} + 2{n^2} = 26n.$

$ \Leftrightarrow \frac{{4n(n – 1)(n – 2)}}{3} + 2{n^2} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2(n – 1)(n – 2)}}{3} + n = 13.$

$ \Leftrightarrow 2{n^2} – 3n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{n = 5}\\

{n = – \frac{7}{2}\,\,{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..$

Vậy $n = 5.$