tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển

Bài viết này trình bày phương pháp tính xác suất của một biến cố dựa trên định nghĩa cổ điển, một khái niệm nền tảng trong lý thuyết xác suất. Kiến thức và các ví dụ minh họa được tham khảo từ nguồn tài liệu uy tín về tổ hợp và xác suất trên giaitoan.edu.vn, đảm bảo tính chính xác và đáng tin cậy.

1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Trong một phép thử \(T\), nếu không gian mẫu \(Ω\) là một tập hữu hạn và tất cả các kết quả của \(T\) đều có khả năng xảy ra như nhau (đồng khả năng), thì xác suất của một biến cố \(A\), ký hiệu là \(P(A)\), được tính bằng công thức:

\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{|\Omega |}}\)

Trong đó:

• \(|\Omega|\) là số phần tử của không gian mẫu \(Ω\).
• \(|\Omega_A|\) là số phần tử của tập hợp \(\Omega_A\), bao gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\).

Như vậy, việc tính xác suất của biến cố \(A\) trong trường hợp này được quy về việc đếm số kết quả có thể của phép thử \(T\) và số kết quả thuận lợi cho \(A\). Đây là một phương pháp cơ bản và quan trọng để tiếp cận các bài toán xác suất đơn giản.

Chú ý:

• \(0 ≤ P(A) ≤ 1\): Xác suất của một biến cố luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
• \(P(Ω) = 1\): Xác suất của không gian mẫu bằng 1, nghĩa là chắc chắn có một kết quả xảy ra.
• \(P(Ø) = 0\): Xác suất của biến cố không thể xảy ra bằng 0.

2. Phương pháp tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển

Để tính xác suất của một biến cố \(A\) theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định không gian mẫu \(Ω\) và tính số phần tử của nó, \(|Ω|\).
2. Xác định biến cố \(A\) và tính số phần tử của tập hợp các kết quả thuận lợi cho \(A\), \(|\Omega_A|\).
3. Tính xác suất theo công thức: \(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{|\Omega |}}\).

3. Ví dụ minh họa

Dưới đây là một loạt các ví dụ minh họa cách áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất trong các tình huống khác nhau:

Ví dụ 1

a) Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất của biến cố tổng số chấm không nhỏ hơn 16.

b) Xếp ngẫu nhiên 5 chữ cái B, G, N, O, O. Tìm xác suất để được chữ BOONG.

a) Không gian mẫu có \(6^3 = 216\) phần tử. Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng số chấm không nhỏ hơn 16”. Số trường hợp thuận lợi cho \(A\) là: 10 trường hợp. Suy ra: \(P(A) = \frac{{10}}{{216}} = \frac{5}{{108}}\).

b) Số trường hợp có thể xảy ra là \(5! = 120\). Gọi \(B\) là biến cố: “Xếp được chữ BOONG”. Số trường hợp có thể xảy ra \(B\) là 2. Suy ra: \(P(B) = \frac{2}{{120}} = \frac{1}{{60}}\).

Ví dụ 2. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt \(b\) chấm. Xét phương trình \(x^2 + bx + 2 = 0\). Tính xác suất sao cho: a) Phương trình có nghiệm. b) Phương trình vô nghiệm. c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Không gian mẫu có sáu kết quả đồng khả năng: \(Ω = \{1, 2, …, 6\}\), \(|Ω| = 6\). Phương trình bậc hai \(x^2 + bx + 2 = 0\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} – 8\). a) \(P(A) = \frac{2}{3}\). b) \(P(B) = \frac{1}{3}\). c) \(P(C) = \frac{1}{6}\).

Ví dụ 3. Một bình chứa 8 viên bi chỉ khác nhau về màu sắc trong đó có 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ bình. Tính xác suất để được: a) 2 viên bi xanh. b) 2 viên bi đỏ.

a) \(P(A) = \frac{5}{{14}}\). b) \(P(B) = \frac{3}{{28}}\).

Ví dụ 4. Một bình đựng 7 viên bi chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có 4 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được: a) 2 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu xanh. b) Cả 3 viên bi đều màu xanh.

a) \(P(A) = \frac{{12}}{{35}}\). b) \(P(B) = \frac{4}{{35}}\).

Ví dụ 5. Có 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 6 và đựng trong một hộp. Sau khi xáo trộn, người ta lấy ngẫu nhiên lần lượt 4 quả.

a) Sắp xếp chúng theo thứ tự lấy ra thành một hàng ngang từ trái sang phải. Tìm xác suất để được số 1234.

b) Tìm xác suất để được tổng các chữ số là 10.

a) \(P = \frac{1}{{360}}\). b) \(P = \frac{1}{{15}}\).

Ví dụ 6. Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg, 7 kg, 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong số đó. a) Có bao nhiêu cách chọn như thế. b) Tính xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 9 kg.

a) 56 cách. b) \(P = \frac{1}{8}\).

Ví dụ 7. Chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Tìm xác suất để số được chọn là số chẵn và các chữ số của nó đều khác nhau.

\(P = \frac{{82}}{{225}}\).

Ví dụ 8. Có 6 khách hàng vào một cửa hàng gồm 3 quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2 khách hàng vào cùng một quầy.

\(P = \frac{{13}}{{28}}\).

Ví dụ 9. Một đợt xổ số phát hành 20000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để một người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích.

\(P \approx 0,000468\).

Ví dụ 10. Một ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi. Mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh thuộc 80 câu. Tìm xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi trong đó có 4 câu hỏi mình đã học thuộc.

\(P(A) \approx 0,42\).

Ví dụ 11. Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tìm xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.

\(P(A) = \frac{2}{3}\).

Ví dụ 12. Có 5 đoạn thẳng có chiều dài lần lượt là 1cm, 3cm, 5cm, 7cm và 9cm. Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trên, có thể lập thành một tam giác.

\(P(A) = 0,3\).

Ví dụ 13. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác. b) Đường chéo của lục giác. c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

a) \(P(A) = \frac{2}{5}\). b) \(P(B) = \frac{3}{5}\). c) \(P(C) = \frac{1}{5}\).

Ví dụ 14. Một hình lập phương mà các mặt của nó đã được sơn màu. Ta cưa ra thành 1000 khối lập phương nhỏ như nhau. Xác định xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra một khối nhỏ, khối đó có hai mặt đã được sơn màu.

\(P(A) = 0,096\).

Ví dụ 15. Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong k sản phẩm lấy ra có s sản phẩm xấu (s<k).

\(P = \frac{{C_m^s.C_{n – m}^{k – s}}}{{C_n^k}}\).

Hy vọng rằng những ví dụ này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng định nghĩa cổ điển để giải quyết các bài toán xác suất. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm những kiến thức thú vị trong lĩnh vực này!