Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 15 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian, giúp học sinh làm quen với các khái niệm và công cụ toán học để mô tả và phân tích các đối tượng trong không gian ba chiều.

I. Khái niệm cơ bản về đường thẳng trong không gian

Đường thẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng đó. Phương trình của đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào thông tin đã cho.

II. Các dạng phương trình của đường thẳng trong không gian

1. Phương trình tham số: x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct Trong đó: (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng, (a, b, c) là tọa độ của vectơ chỉ phương, và t là tham số thực.
2. Phương trình chính tắc: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c Điều kiện: a, b, c khác 0.
3. Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và một điểm: Phương trình này được sử dụng khi ta biết một điểm nằm ngoài đường thẳng và muốn tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm đó.

III. Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Có ba trường hợp xảy ra giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng có một điểm chung duy nhất.

IV. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương a = (2, -1, 1).

Giải: Áp dụng công thức phương trình tham số, ta có:

x = 1 + 2t

y = 2 - t

z = 3 + t

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng (x - 1)/2 = (y + 1)/3 = (z - 2)/1 và mặt phẳng x + 2y - z = 4.

Giải: Từ phương trình đường thẳng, ta có x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 2 + t. Thay vào phương trình mặt phẳng, ta được:

(1 + 2t) + 2(-1 + 3t) - (2 + t) = 4

1 + 2t - 2 + 6t - 2 - t = 4

7t - 3 = 4

7t = 7

t = 1

Thay t = 1 vào phương trình đường thẳng, ta được x = 3, y = 2, z = 3. Vậy giao điểm là (3, 2, 3).

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các em cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy bắt đầu với các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, sau đó tìm kiếm thêm các bài tập trên mạng hoặc trong các đề thi thử. Chú trọng việc hiểu rõ bản chất của các khái niệm và công thức, đồng thời rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách linh hoạt và sáng tạo.

VI. Kết luận

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian là một bài học quan trọng trong chương trình Hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến chủ đề này sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc học tập và làm bài thi môn Toán.