Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài 17 trong sách giáo khoa Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức tập trung vào việc khám phá và chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến đường phân giác của tam giác.

I. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của tam giác ABC là đường thẳng đi qua đỉnh A và chia góc BAC thành hai góc bằng nhau, tức là ∠BAD = ∠CAD, với D là một điểm trên cạnh BC.

II. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác được phát biểu như sau:

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

Cụ thể, nếu AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC (với D nằm trên BC), thì ta có:

BD/CD = AB/AC

III. Chứng minh định lý

Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC, vẽ đường thẳng AE song song với BC (E nằm trên CD). Khi đó:

• ∠EAC = ∠ACB (so le trong)
• ∠EAD = ∠BAD (do AD là phân giác)

Do đó, ∠EAC = ∠EAD, suy ra tam giác ADE cân tại D, tức là AD = DE.

Xét tam giác CDE, ta có AE // BC, nên theo định lý Thales, ta có:

CD/DE = CE/AE

Mà DE = AD, nên CD/AD = CE/AE.

Xét tam giác BAE, ta có AE // BC, nên theo định lý Thales, ta có:

BD/AD = BE/AE

Từ hai tỉ lệ trên, ta suy ra:

CD/BD = AE/BE

Mà AE/BE = AC/AB (do AE // BC), nên CD/BD = AC/AB.

Suy ra BD/CD = AB/AC (đpcm).

IV. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

• Tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh đối diện khi biết độ dài các cạnh kề và tỉ lệ của đường phân giác.
• Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên tính chất đường phân giác.
• Giải các bài toán thực tế liên quan đến việc chia tỉ lệ.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 4cm và CD = 6cm. Tính độ dài AD.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác. Tính tỉ số BI/ID, CI/IE (với D, E lần lượt là chân đường phân giác kẻ từ B, C).

VI. Kết luận

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững định lý và các ứng dụng của nó sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.