Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - SBT Toán 12 Cánh Diều

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh Diều tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế liên quan đến xác suất có điều kiện.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số biến cố khác loại trừ lẫn nhau. Công thức được biểu diễn như sau:

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... + P(B_n)P(A|B_n)

Trong đó:

• P(A) là xác suất của biến cố A.
• B₁, B₂, ..., B_n là các biến cố loại trừ lẫn nhau và hợp của chúng bằng biến cố chắc chắn.
• P(B_i) là xác suất của biến cố B_i.
• P(A|B_i) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B_i đã xảy ra.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được biểu diễn như sau:

P(B|A) = [P(A|B)P(B)] / P(A)

Trong đó:

• P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra.
• P(A|B) là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B.
• P(A) là xác suất của biến cố A.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hai công thức này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Y học: Tính xác suất mắc bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu và đưa ra dự đoán.
• Kinh tế: Dự báo thị trường và đánh giá rủi ro.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% sản phẩm, dây chuyền B sản xuất 40% sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm lỗi của dây chuyền A là 2%, của dây chuyền B là 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Giải:

Gọi A là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A, B là biến cố sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B, L là biến cố sản phẩm là sản phẩm lỗi.

Ta có:

• P(A) = 0.6
• P(B) = 0.4
• P(L|A) = 0.02
• P(L|B) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(L) = P(A)P(L|A) + P(B)P(L|B) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm lỗi là 0.024 hay 2.4%.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 12 Cánh Diều cung cấp nhiều bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp các em rèn luyện kỹ năng giải toán và áp dụng kiến thức vào thực tế.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!