Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm - SBT Toán 12 Cánh diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ về phương sai và độ lệch chuẩn là vô cùng quan trọng, đặc biệt khi làm việc với các mẫu số liệu ghép nhóm. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách tính toán và ứng dụng các khái niệm này trong SBT Toán 12 Cánh diều.

1. Khái niệm cơ bản về phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai (Variance) là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Nó được tính bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình.

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cung cấp một thước đo về mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng được biểu diễn bằng cùng đơn vị với dữ liệu gốc, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

2. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta không có dữ liệu gốc mà chỉ có các khoảng giá trị và tần số tương ứng. Do đó, công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn sẽ khác một chút.

Giả sử ta có mẫu số liệu ghép nhóm với các khoảng giá trị và tần số .

• Bước 1: Tính giá trị trung bình (x̄) của mẫu số liệu ghép nhóm:

x̄ = (∑(xᵢ * fᵢ)) / ∑fᵢ

• Bước 2: Tính phương sai (s²) của mẫu số liệu ghép nhóm:

s² = (∑(fᵢ * (xᵢ - x̄)²)) / (∑fᵢ - 1)

• Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s) của mẫu số liệu ghép nhóm:

s = √s²

3. Ví dụ minh họa

Xét một mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Giải:

• Bước 1: Tính giá trị trung bình (x̄):

Giả sử giá trị đại diện của mỗi khoảng là trung điểm: x₁ = 15, x₂ = 25, x₃ = 35

x̄ = (15 * 5 + 25 * 8 + 35 * 7) / (5 + 8 + 7) = (75 + 200 + 245) / 20 = 520 / 20 = 26

• Bước 2: Tính phương sai (s²):

s² = (5 * (15 - 26)² + 8 * (25 - 26)² + 7 * (35 - 26)²) / (20 - 1)

s² = (5 * 121 + 8 * 1 + 7 * 81) / 19 = (605 + 8 + 567) / 19 = 1180 / 19 ≈ 62.11

• Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s):

s = √62.11 ≈ 7.88

4. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Thống kê: Đánh giá mức độ biến động của dữ liệu.
• Tài chính: Đo lường rủi ro của các khoản đầu tư.
• Khoa học: Phân tích kết quả thí nghiệm.
• Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm.

5. Lưu ý khi tính toán

Khi tính toán phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm, cần lưu ý:

• Chọn giá trị đại diện phù hợp cho mỗi khoảng giá trị (thường là trung điểm).
• Sử dụng đúng công thức tính toán.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!