Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong chương trình Toán 12, việc hiểu rõ các số đặc trưng đo mức độ phân tán là vô cùng quan trọng. Bài 2 trong chương 3 của sách Toán 12 tập 1, Chân trời sáng tạo, tập trung vào hai khái niệm then chốt: phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về các khái niệm này, bao gồm định nghĩa, công thức, và cách tính toán, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.

1. Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Mẫu số liệu ghép nhóm là một tập hợp các dữ liệu được chia thành các khoảng hoặc lớp. Mỗi khoảng sẽ có một tần số tương ứng, cho biết số lượng dữ liệu thuộc về khoảng đó. Ví dụ, một bảng tần số có thể biểu diễn điểm thi của học sinh trong một lớp, với các khoảng điểm như 0-5, 5-10, 10-15, v.v.

2. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (variance) là một số đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Nó cho biết mức độ các giá trị trong tập dữ liệu khác nhau so với giá trị trung bình. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s² = Σ[(x_i - x̄)² * f_i] / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm
• f_i là tần số của khoảng thứ i
• n là tổng số các giá trị trong mẫu

3. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng là một số đo mức độ phân tán, nhưng có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

s = √(s²)

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có bảng tần số sau:

Để tính phương sai và độ lệch chuẩn, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính trung điểm của mỗi khoảng: x₁ = 2.5, x₂ = 7.5, x₃ = 12.5
2. Tính trung bình cộng: x̄ = (2.5 * 5 + 7.5 * 8 + 12.5 * 7) / (5 + 8 + 7) = 8.57
3. Tính phương sai: s² = [(2.5 - 8.57)² * 5 + (7.5 - 8.57)² * 8 + (12.5 - 8.57)² * 7] / (20 - 1) = 24.89
4. Tính độ lệch chuẩn: s = √24.89 = 4.99

5. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn cho chúng ta biết mức độ phân tán của dữ liệu. Nếu phương sai và độ lệch chuẩn lớn, điều đó có nghĩa là dữ liệu phân tán rộng, các giá trị khác nhau nhiều so với giá trị trung bình. Ngược lại, nếu phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ, dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình.

6. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Thống kê: để mô tả và phân tích dữ liệu
• Tài chính: để đánh giá rủi ro của các khoản đầu tư
• Khoa học: để đánh giá độ tin cậy của các kết quả thí nghiệm
• Kỹ thuật: để kiểm soát chất lượng sản phẩm

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!