Chào mừng bạn đến với giaitoan.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ cách giải bài tập 3 trang 83, từ đó nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tiết kiệm thời gian và đạt kết quả tốt nhất.
Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau: a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên. b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4. c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Đề bài
Tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ (đơn vị: km/h) được thống kê lại như sau:
a) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên. b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [42; 46) và độ dài mỗi nhóm bằng 4. c) Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu
Tìm trung vị \({Q_2}\)
Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\), ta được \({Q_1}\)
Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\), ta được \({Q_3}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({S^2}\), được tính bởi công thức:
\({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}]\)
Trong đó: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})\) là số trung bình
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(S\), là căn bậc hai số học của phương sai.
c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Tính giá trị đại diện
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({S^2}\), được tính bởi công thức:
\({S^2} = \frac{1}{n}[{n_1}{({c_1} - \overline x )^2} + {n_2}{({c_2} - \overline x )^2} + ... + {n_k}{({c_k} - \overline x )^2}]\)
Trong đó: \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\(\overline x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})\) là số trung bình
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(S\), là căn bậc hai số học của phương sai.
Lời giải chi tiết
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu: 61,1 – 42 = 19,1 (km/h)
Cỡ mẫu: n = 20
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{20}}\) là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi khi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.
Trung vị \({Q_2} = \frac{1}{2}({x_{10}} + {x_{11}}) = \frac{1}{2}(48,4 + 50,8) = 49,6\)
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) \({Q_1} = \frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) = \frac{1}{2}(46,7 + 46,8) = 46,75\)
Tứ phân vị thứ ba là trung bị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\): \({Q_3} = \frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) = \frac{1}{2}(54,8 + 55,6) = 55,2\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8,45\)
Số trung bình: \(\overline x = \frac{{42 + 43,4 + ... + 61,1}}{{20}} = 50,945\)
Phương sai: \({S^2} = \frac{{{{42}^2} + 43,{4^2} + ... + 61,{1^2}}}{{20}} - 50,{945^2} \approx 32,2\)
Độ lệch chuẩn: \(\sigma = \sqrt {32,2} \approx 5,67\)
b)
c) Ta có: \({x_1};...;{\rm{ }}{x_3} \in [42;46)\); \({x_4}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{10}} \in [46;50)\);\({x_{11}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{14}} \in [50;54)\);\({x_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{17}} \in [54;58)\);\({x_{18}};...;{x_{20}} \in [58;62)\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_5} + {x_6}) \in [46;50)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 46 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{7}(50 - 46) = \frac{{330}}{7}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{15}} + {x_{16}}) \in [54;58)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 54 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - (3 + 7 + 4)}}{3}(58 - 54) = \frac{{166}}{3}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{172}}{{21}}\)
Số trung bình: \(\overline x = \frac{{3.44 + 7.48 + 4.52 + 3.56 + 3.60}}{{20}} = 41,8\)
Phương sai: \({S^2} = \frac{{{{3.44}^2} + {{7.48}^2} + {{4.52}^2} + {{3.56}^2} + {{3.60}^2}}}{{20}} - 41,{8^2} = 364,96\)
Độ lệch chuẩn: \(\sigma = \sqrt {364,96} = 19,1\)
Bài tập 3 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm và các tính chất của giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới.
Bài tập 3 bao gồm các câu hỏi yêu cầu tính giới hạn của hàm số tại một điểm, sử dụng định nghĩa và các tính chất của giới hạn. Các hàm số trong bài tập có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc các hàm số phức tạp hơn. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong bài tập 3 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo:
Để giải câu a, ta cần tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1. Ta có thể phân tích tử số thành (x - 1)(x + 1), sau đó rút gọn biểu thức. Khi đó, giới hạn của f(x) khi x tiến tới 1 bằng giới hạn của (x + 1) khi x tiến tới 1, tức là 2.
Đối với câu b, ta cần tính giới hạn của hàm số g(x) = (x^3 - 8) / (x - 2) khi x tiến tới 2. Tương tự như câu a, ta phân tích tử số thành (x - 2)(x^2 + 2x + 4), sau đó rút gọn biểu thức. Khi đó, giới hạn của g(x) khi x tiến tới 2 bằng giới hạn của (x^2 + 2x + 4) khi x tiến tới 2, tức là 12.
Câu c yêu cầu tính giới hạn của hàm số h(x) = (sqrt(x + 4) - 3) / (x - 5) khi x tiến tới 5. Để giải quyết bài toán này, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử số, tức là (sqrt(x + 4) + 3). Sau khi biến đổi, ta sẽ có giới hạn của 1 / (sqrt(x + 4) + 3) khi x tiến tới 5, tức là 1/6.
Ngoài bài tập 3 trang 83, còn rất nhiều bài tập tương tự về giới hạn hàm số. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về giới hạn hàm số, bạn có thể luyện tập thêm với các bài tập sau:
Bài tập 3 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài tập về giới hạn hàm số. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt kết quả tốt nhất.
