Trong chương trình Toán 12, kiến thức về thống kê đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là các khái niệm Phương sai và độ lệch chuẩn. Bài viết này sẽ cung cấp lý thuyết chi tiết về Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, theo chương trình Chân trời sáng tạo.
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa, công thức tính toán và các ví dụ minh họa để nắm vững kiến thức này, phục vụ cho quá trình ôn tập và làm bài thi hiệu quả.
Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm 1. Phương sai và độ lệch chuẩn
1. Phương sai và độ lệch chuẩn
- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s2 , là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{{m{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}\) Trong đó, \(n = {m_1} + ... + {m_k}\); \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) và \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. - Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \). |
2. Ý nghĩa
- Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.
Phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng thống kê quan trọng, dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, việc hiểu rõ lý thuyết và cách tính toán của hai đại lượng này là rất cần thiết.
Phương sai (Variance), ký hiệu là σ2 (trong trường hợp tổng thể) hoặc s2 (trong trường hợp mẫu), là giá trị trung bình của bình phương độ lệch của các giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình.
Độ lệch chuẩn (Standard Deviation), ký hiệu là σ (trong trường hợp tổng thể) hoặc s (trong trường hợp mẫu), là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình.
Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta không có dữ liệu gốc mà chỉ có các khoảng giá trị và tần số tương ứng. Do đó, công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn sẽ khác so với trường hợp dữ liệu rời rạc.
Giả sử ta có mẫu số liệu ghép nhóm với các khoảng giá trị [a1, b1], [a2, b2], ..., [ak, bk] và tần số tương ứng là n1, n2, ..., nk. Gọi xi là trung điểm của khoảng [ai, bi], tức là xi = (ai + bi) / 2.
a. Tính trung bình cộng (x̄) của mẫu số liệu ghép nhóm:
x̄ = (∑(ni * xi)) / N, trong đó N = ∑ni là tổng số tần số.
b. Tính Phương sai (s2) của mẫu số liệu ghép nhóm:
s2 = (∑(ni * (xi - x̄)2)) / (N - 1)
c. Tính Độ lệch chuẩn (s) của mẫu số liệu ghép nhóm:
s = √s2
Xét bảng số liệu sau:
| Khoảng giá trị | Tần số (ni) | Trung điểm (xi) |
|---|---|---|
| [0, 5) | 5 | 2.5 |
| [5, 10) | 8 | 7.5 |
| [10, 15) | 7 | 12.5 |
Bước 1: Tính trung bình cộng (x̄):
N = 5 + 8 + 7 = 20
x̄ = (5 * 2.5 + 8 * 7.5 + 7 * 12.5) / 20 = (12.5 + 60 + 87.5) / 20 = 160 / 20 = 8
Bước 2: Tính Phương sai (s2):
s2 = (5 * (2.5 - 8)2 + 8 * (7.5 - 8)2 + 7 * (12.5 - 8)2) / (20 - 1)
s2 = (5 * (-5.5)2 + 8 * (-0.5)2 + 7 * (4.5)2) / 19
s2 = (5 * 30.25 + 8 * 0.25 + 7 * 20.25) / 19
s2 = (151.25 + 2 + 141.75) / 19 = 295 / 19 ≈ 15.53
Bước 3: Tính Độ lệch chuẩn (s):
s = √15.53 ≈ 3.94
Phương sai và độ lệch chuẩn giúp chúng ta đánh giá mức độ đồng nhất của dữ liệu. Phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung xung quanh giá trị trung bình, và ngược lại.
Trong thực tế, Phương sai và độ lệch chuẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như tài chính, kinh tế, khoa học tự nhiên, và kỹ thuật.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
