Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, trung vị và tứ phân vị là những số đặc trưng đo xu thế trung tâm quan trọng, đặc biệt khi làm việc với dữ liệu có giá trị ngoại lệ hoặc phân phối không đối xứng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về cách tính toán và ý nghĩa của trung vị và tứ phân vị trong mẫu số liệu ghép nhóm, dựa trên nội dung SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1, chương 5.

I. Khái niệm về mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là một cách trình bày dữ liệu, trong đó các giá trị được chia thành các khoảng (nhóm) và chỉ số lượng các giá trị trong mỗi khoảng được ghi lại. Ví dụ, một bảng tần số thể hiện số lượng học sinh đạt điểm trong các khoảng điểm khác nhau là một mẫu số liệu ghép nhóm.

II. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trung vị (median) là giá trị nằm ở giữa của một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tìm trung vị đòi hỏi một số bước tính toán:

1. Tính tần số tích lũy: Cộng dồn tần số của các nhóm từ nhóm đầu tiên đến nhóm cuối cùng.
2. Xác định nhóm chứa trung vị: Tìm nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng một nửa tổng tần số (n/2).
3. Tính trung vị: Sử dụng công thức sau:

Trung vị = L + ((n/2 - F_trước) / f_{trung vị}) * i

Trong đó:

• L: Giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị.
• n: Tổng số quan sát.
• F_trước: Tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị.
• f_{trung vị}: Tần số của nhóm chứa trung vị.
• i: Khoảng lớp (độ rộng của mỗi nhóm).

III. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp thành bốn phần bằng nhau. Có ba tứ phân vị:

• Q₁ (Tứ phân vị thứ nhất): Giá trị phân chia 25% dữ liệu thấp nhất với 75% dữ liệu còn lại.
• Q₂ (Tứ phân vị thứ hai): Trung vị của tập dữ liệu (phân chia 50% dữ liệu thấp nhất với 50% dữ liệu còn lại).
• Q₃ (Tứ phân vị thứ ba): Giá trị phân chia 75% dữ liệu thấp nhất với 25% dữ liệu còn lại.

Cách tính Q₁ và Q₃ tương tự như tính trung vị, chỉ khác ở chỗ ta sử dụng n/4 và 3n/4 thay vì n/2.

IV. Ý nghĩa của trung vị và tứ phân vị

Trung vị và tứ phân vị cung cấp thông tin quan trọng về sự phân bố của dữ liệu:

• Trung vị: Cho biết giá trị điển hình của tập dữ liệu.
• Q₁ và Q₃: Cho biết sự phân tán của dữ liệu xung quanh trung vị.
• Khoảng tứ phân vị (IQR = Q₃ - Q₁): Đo lường mức độ biến động của 50% dữ liệu trung tâm.

V. Ví dụ minh họa

Giả sử ta có bảng tần số sau:

Tổng số quan sát (n) = 5 + 10 + 15 + 8 + 2 = 40

Áp dụng các công thức và phương pháp đã trình bày, ta có thể tính được trung vị, Q₁ và Q₃ của mẫu số liệu này.

VI. Kết luận

Bài học về trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là một phần quan trọng trong chương trình thống kê Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm và công thức tính toán sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về cách phân tích và diễn giải dữ liệu trong thực tế. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.