Bài học này cung cấp kiến thức nền tảng về Trung vị và tứ phân vị, những khái niệm quan trọng trong thống kê toán học. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách xác định và ứng dụng các đại lượng này để phân tích và mô tả dữ liệu.
Nội dung bài học được xây dựng dựa trên chương trình SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với học sinh.
1. Trung vị
1. Trung vị
Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
Khi đó trung vị là:
\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
* Ý nghĩa: Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.
2. Tứ phân vị
- Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Khi đó,
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)
- Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:
Khi đó,
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)
- Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).
- Nếu tứ phân vị thứ k là \(\frac{1}{2}\left( {{x_m} + {x_{m + 1}}} \right)\), trong đó \({x_m}\) và \({x_{m + 1}}\)thuộc hai nhóm liên tiếp thì ta lấy \({Q_k} = {u_j}\).
* Ý nghĩa:
Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá tị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Trong thống kê, việc mô tả và phân tích dữ liệu là vô cùng quan trọng. Trung vị và tứ phân vị là những đại lượng thống kê giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố của dữ liệu, đặc biệt là khi dữ liệu được chia thành các nhóm (mẫu số liệu ghép nhóm).
Mẫu số liệu ghép nhóm là một cách trình bày dữ liệu, trong đó dữ liệu được chia thành các khoảng (nhóm) và chỉ số lượng các giá trị trong mỗi khoảng được ghi lại. Ví dụ, bảng tần số sau đây là một mẫu số liệu ghép nhóm:
| Khoảng | Tần số (f) |
|---|---|
| [0, 10) | 5 |
| [10, 20) | 12 |
| [20, 30) | 8 |
Trung vị (Median) là giá trị nằm ở giữa của một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta không có giá trị cụ thể của từng phần tử, mà chỉ có khoảng và tần số. Do đó, việc tìm trung vị đòi hỏi một số bước tính toán:
Trung vị = xi + [(N/2) - Fi-1] * (xi+1 - xi) / fi
Trong đó:
Tứ phân vị chia tập dữ liệu thành bốn phần bằng nhau. Có ba tứ phân vị:
Cách tính tứ phân vị tương tự như tính trung vị, chỉ khác ở vị trí cần tìm:
Công thức tính Q1 và Q3 cũng tương tự công thức tính trung vị, chỉ thay đổi vị trí trung vị bằng vị trí Q1 hoặc Q3.
Trung vị và tứ phân vị cung cấp thông tin quan trọng về sự phân bố của dữ liệu:
Giả sử chúng ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Khoảng | Tần số (f) |
|---|---|
| [5, 10) | 7 |
| [10, 15) | 10 |
| [15, 20) | 15 |
| [20, 25) | 8 |
Tổng tần số N = 7 + 10 + 15 + 8 = 40
Vị trí trung vị: (40+1)/2 = 20.5
Khoảng chứa trung vị: [15, 20)
Trung vị = 15 + [(40/2) - (7+10)] * (20-15) / 15 = 15 + (20 - 17) * 5 / 15 = 15 + 1 = 16
Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau trong SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc bạn học tốt!
