Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 22 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào một trong những khái niệm quan trọng nhất trong hình học không gian: mối quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng. Việc hiểu rõ điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, cũng như các định lý liên quan, là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Điều kiện hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta thường sử dụng vector chỉ phương của chúng. Gọi a và b là vector chỉ phương của hai đường thẳng d₁ và d₂. Khi đó:

d₁ ⊥ d₂ ⇔ a.b = 0 (tích vô hướng của hai vector bằng 0)

Điều này có nghĩa là hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của các vector chỉ phương của chúng bằng không.

2. Các định lý liên quan

Có một số định lý quan trọng liên quan đến hai đường thẳng vuông góc:

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Ứng dụng trong giải toán

Kiến thức về hai đường thẳng vuông góc được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến:

Xác định góc giữa hai đường thẳng.
Chứng minh tính vuông góc của hai đường thẳng.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Giải các bài toán về hình chóp, hình trụ, hình cầu.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vector chỉ phương lần lượt là a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 1). Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không?

Giải: Ta tính tích vô hướng của hai vector a và b:

a.b = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1

Vì a.b ≠ 0, nên hai đường thẳng d₁ và d₂ không vuông góc.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng SA vuông góc với BC.

Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và BC nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với BC.

5. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về hai đường thẳng vuông góc, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vector chỉ phương lần lượt là a = (3; -1; 2) và b = (1; 5; -4). Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc hay không?
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Chứng minh rằng AC vuông góc với BD.

6. Kết luận

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức về điều kiện hai đường thẳng vuông góc, các định lý liên quan và ứng dụng của chúng trong giải toán sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học không gian phức tạp.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!