Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng

Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 Kết nối tri thức: Giải chi tiết

Bài 24 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào việc hiểu và vận dụng kiến thức về phép chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng lên một mặt phẳng. Đây là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học không gian, đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn.

I. Khái niệm phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc của một điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H sao cho MH vuông góc với (P). H được gọi là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Để xác định hình chiếu vuông góc, ta thường sử dụng định nghĩa và các tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

Tính chất:

Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P), có duy nhất một đường thẳng vuông góc với (P).
Nếu một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mọi đường thẳng nằm trong (P) và vuông góc với d đều song song với nhau.

II. Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng

Phép chiếu vuông góc của một đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là tập hợp các hình chiếu vuông góc của các điểm nằm trên d lên (P). Nếu d vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là chính d. Nếu d không vuông góc với (P) thì phép chiếu của d lên (P) là một đường thẳng d' cắt (P).

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD). Do SA vuông góc với (ABCD) nên H trùng với A.
Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có: tan(góc giữa SC và (ABCD)) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
Suy ra góc giữa SC và (ABCD) = arctan(1/√2).

Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, AA' = c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B').

Giải:

Khoảng cách từ A đến (BCC'B') chính là độ dài đoạn AH, với H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCC'B').
Do ABCD là hình chữ nhật nên AH vuông góc với BC. H trùng với B.
Vậy khoảng cách từ A đến (BCC'B') là AB = a.

IV. Lưu ý khi giải bài tập về phép chiếu vuông góc

Luôn xác định đúng hình chiếu vuông góc của điểm hoặc đường thẳng lên mặt phẳng.
Sử dụng các định nghĩa, tính chất và định lý liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung và tìm ra lời giải.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 Kết nối tri thức Tập 2 và tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!