Bài 7.14 trang 30 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaitoan.edu.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 7.14 trang 30, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \).
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \).
a) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tính tang góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh có \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA}\).
Tính \(\widehat {SCA}\).
b) Chứng minh \(SB\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mp\(\left( {SAB} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {SAB} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,SB}} \right) = \widehat {B{\rm{S}}C}\).
Tính \(\widehat {BSC}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA}\).
Mặt khác tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(AC = a\sqrt 2 \) và \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Vậy đường thẳng \(SC\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \(45^\circ \).
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow SB\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên mp\(\left( {SAB} \right)\).
Khi đó \(\left( {\widehat {SC,\left( {SAB} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC,SB}} \right) = \widehat {B{\rm{S}}C}\).
Mặt khác tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(BC = a,SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 3 \).
Do đó \(\tan \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy tang góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Bài 7.14 trang 30 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu chúng ta xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về vị trí của các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Dựa vào đó, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học để suy luận và chứng minh.
(Giả sử đề bài cụ thể là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với SM.)
Chứng minh:
Vậy, AM vuông góc với SM (đpcm).
Ngoài bài 7.14, sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức còn rất nhiều bài tập tương tự về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng. Các em có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
Để giải tốt các bài tập về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, các em cần:
Kiến thức về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, kỹ thuật. Ví dụ, khi thiết kế một ngôi nhà, các kiến trúc sư cần tính toán chính xác vị trí của các đường thẳng và mặt phẳng để đảm bảo tính thẩm mỹ và độ bền vững của công trình.
Bài 7.14 trang 30 sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Giaitoan.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
