Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng - SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm đường trung trực

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Nói cách khác, nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì đường thẳng d vuông góc với AB tại M được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với CD là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

2. Tính chất của đường trung trực

Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

1. Chiều thuận: Cho điểm M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Gọi I là giao điểm của d và AB. Ta cần chứng minh MA = MB.

2. Vì d là đường trung trực của AB nên AI = BI (tính chất trung điểm). ∠AIM = ∠BIM = 90° (tính chất đường trung trực).

3. Xét hai tam giác vuông ΔAIM và ΔBIM, ta có:

4. • AI = BI (cmt)
   • IM là cạnh chung
   • ∠AIM = ∠BIM = 90°

5. Vậy ΔAIM = ΔBIM (cạnh góc vuông - cạnh góc vuông). Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

6. Chiều nghịch: Cho điểm M cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB (MA = MB). Ta cần chứng minh M nằm trên đường trung trực của AB.

7. Xét hai tam giác ΔAIM và ΔBIM, ta có:

8. • MA = MB (gt)
   • AI = BI (trung điểm I của AB)
   • IM là cạnh chung

9. Vậy ΔAIM = ΔBIM (cạnh - cạnh - cạnh). Suy ra ∠AIM = ∠BIM (hai góc tương ứng). Do đó, IM vuông góc với AB tại I. Vậy M nằm trên đường trung trực của AB.

3. Ứng dụng của đường trung trực

Đường trung trực được sử dụng để:

• Xác định trung điểm của một đoạn thẳng.
• Vẽ đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
• Giải các bài toán liên quan đến tính chất cách đều của các điểm trên đường trung trực.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đoạn thẳng MN dài 6cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng MA = MB.

Bài 3: Cho tam giác ABC, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM là đường trung trực của BC.

5. Lời giải chi tiết các bài tập

Bài 1:

1. Vẽ đoạn thẳng MN dài 6cm.
2. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng MN (MI = IN = 3cm).
3. Vẽ đường thẳng d vuông góc với MN tại I. Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Bài 2:

Vì M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC (tính chất đường trung trực). Mà MA = MB (giả thiết). Vậy MA = MB.

Bài 3:

Xét hai tam giác ΔABM và ΔACM, ta có:

• AB = AC (giả thiết)
• BM = CM (M là trung điểm của BC)
• AM là cạnh chung

Vậy ΔABM = ΔACM (cạnh - cạnh - cạnh). Suy ra ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng). Do đó, AM là đường trung trực của BC.

6. Kết luận

Bài học về đường trung trực của một đoạn thẳng là nền tảng quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Việc nắm vững khái niệm, tính chất và ứng dụng của đường trung trực sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!