Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 5 trong chương trình Toán 10 tập 1, sách Cánh diều, tập trung vào việc giải quyết các phương trình không trực tiếp là phương trình bậc hai mà có thể được biến đổi về dạng này để tìm nghiệm. Việc nắm vững phương pháp này là nền tảng quan trọng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

I. Lý thuyết cơ bản

Có hai dạng phương trình thường gặp được quy về phương trình bậc hai:

1. Phương trình chứa căn thức bậc hai: Dạng phương trình này thường có dạng √(ax + b) = cx + d. Để giải, ta bình phương hai vế, sau đó đưa về phương trình bậc hai và giải. Lưu ý cần kiểm tra điều kiện xác định của căn thức và nghiệm tìm được.
2. Phương trình chứa phân thức hữu tỉ: Dạng phương trình này thường có dạng (px + q) / (rx + s) = t. Để giải, ta quy đồng mẫu số, sau đó đưa về phương trình bậc hai và giải. Cần chú ý điều kiện xác định của phân thức để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

II. Phương pháp giải chi tiết

1. Phương trình chứa căn thức bậc hai:

Ví dụ: Giải phương trình √(2x + 1) = x - 1

• Bước 1: Bình phương hai vế: (√(2x + 1))² = (x - 1)² => 2x + 1 = x² - 2x + 1
• Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai: x² - 4x = 0
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai: x(x - 4) = 0 => x = 0 hoặc x = 4
• Bước 4: Kiểm tra điều kiện:
  • Với x = 0: √(2*0 + 1) = 0 - 1 => 1 = -1 (sai) => x = 0 là nghiệm ngoại lai.
  • Với x = 4: √(2*4 + 1) = 4 - 1 => 3 = 3 (đúng) => x = 4 là nghiệm của phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.

2. Phương trình chứa phân thức hữu tỉ:

Ví dụ: Giải phương trình (x + 2) / (x - 1) = 3

• Bước 1: Quy đồng mẫu số: x + 2 = 3(x - 1)
• Bước 2: Giải phương trình: x + 2 = 3x - 3 => 2x = 5 => x = 5/2
• Bước 3: Kiểm tra điều kiện: x ≠ 1. Vì x = 5/2 ≠ 1 nên x = 5/2 là nghiệm của phương trình.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5/2.

III. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập để các em luyện tập:

1. Giải phương trình √(x - 2) = x - 4
2. Giải phương trình (2x - 1) / (x + 1) = 2
3. Giải phương trình √(x² - 3x + 2) = x - 2

IV. Lưu ý quan trọng

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của căn thức và phân thức trước khi giải phương trình.
• Sau khi giải phương trình bậc hai, cần kiểm tra lại các nghiệm tìm được để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
• Thực hành nhiều bài tập để nắm vững phương pháp và kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về hai dạng phương trình thường gặp và kỹ thuật quy về phương trình bậc hai. Chúc các em học tập tốt!