Bài 5. Phép chiếu song song

Trong chương trình Toán 11 tập 1, chương 4 về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, phép chiếu song song đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

I. Định nghĩa Phép chiếu song song

Phép chiếu song song là một phép biến hình trong không gian, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng MM’ song song với một đường thẳng cố định Δ (gọi là phương chiếu). Đường thẳng Δ được gọi là phương của phép chiếu song song.

Ký hiệu: Phép chiếu song song theo phương Δ được ký hiệu là P_Δ.

II. Tính chất của Phép chiếu song song

1. Bảo toàn collinearity: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A’, B’, C’ cũng thẳng hàng.
2. Bảo toàn tỷ số: Nếu A, B, C thẳng hàng thì A’B’/B’C’ = AB/BC.
3. Biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song: Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ thì d’ song song với d’.
4. Biến mặt phẳng song song thành mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì (P’) song song với (Q’).

III. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

1. Xác định ảnh của một điểm, đường thẳng, mặt phẳng qua phép chiếu song song:

Để xác định ảnh của một điểm M qua phép chiếu song song theo phương Δ, ta cần tìm đường thẳng MM’ song song với Δ. Sau đó, M’ là giao điểm của MM’ với mặt phẳng cần chiếu.

2. Chứng minh các điểm, đường thẳng, mặt phẳng thẳng hàng, song song:

Sử dụng các tính chất của phép chiếu song song để chứng minh các quan hệ hình học. Ví dụ, nếu A’, B’, C’ thẳng hàng thì A, B, C cũng thẳng hàng.

3. Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số:

Áp dụng tính chất bảo toàn tỷ số của phép chiếu song song để tính toán các độ dài và tỷ số.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng Δ có phương trình tham số: x = t, y = 1, z = 2. Tìm ảnh A’ của điểm A qua phép chiếu song song theo phương Δ.

Giải:

• Tìm một điểm B thuộc Δ, ví dụ B(0; 1; 2).
• Vectơ AB = (-1; 1; 1).
• Đường thẳng MM’ có vectơ chỉ phương bằng vectơ AB và đi qua A.
• Phương trình tham số của MM’: x = 1 - t, y = 2 + t, z = 3 + t.
• Tìm giao điểm M’ của MM’ với Δ bằng cách giải hệ phương trình.
• Kết quả: A’(x₀; 1; 2).

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Chứng minh rằng ảnh d’ và d’’ của d và d’ qua phép chiếu song song theo phương Δ cũng song song với nhau.

Giải:

Sử dụng tính chất biến đường thẳng song song thành đường thẳng song song của phép chiếu song song, ta có thể dễ dàng chứng minh được d’ và d’’ song song với nhau.

V. Bài tập luyện tập

1. Cho điểm M(2; -1; 0) và đường thẳng Δ có phương trình: x = 1, y = t, z = -1. Tìm ảnh M’ của M qua phép chiếu song song theo phương Δ.
2. Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và (Q): x + y + z - 2 = 0 song song với nhau. Chứng minh rằng ảnh (P’) và (Q’) của (P) và (Q) qua phép chiếu song song theo phương Δ cũng song song với nhau.
3. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm điều kiện để ảnh A’, B’, C’ của A, B, C qua phép chiếu song song theo phương Δ cũng không thẳng hàng.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và cần thiết về phép chiếu song song trong chương trình Toán 11. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!