Bài 7. Phép đồng dạng

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các hình tương đồng và các vấn đề liên quan đến tỉ lệ. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép đồng dạng, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng đồng dạng đặc biệt, và ứng dụng trong giải toán.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn góc nhưng không nhất thiết bảo toàn khoảng cách. Cụ thể, một phép đồng dạng f được xác định bởi một điểm O (tâm đồng dạng) và một số thực k (tỉ số đồng dạng) sao cho:

f(A) = A'
Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ sau khi biến hình tỉ lệ với khoảng cách ban đầu: d(f(A), f(B)) = |k| * d(A, B)

Nếu k > 0, phép đồng dạng được gọi là phép vị tự. Nếu k < 0, phép đồng dạng là phép vị tự kèm theo phép đối xứng qua tâm O.

2. Tính chất của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có những tính chất quan trọng sau:

Bảo toàn góc: Nếu góc ∠ABC thì góc ∠A'B'C' bằng góc ∠ABC.
Biến đường thẳng thành đường thẳng.
Biến đường tròn thành đường tròn.
Biến một hình thành một hình đồng dạng với nó.

3. Các dạng đồng dạng đặc biệt

Có một số dạng đồng dạng đặc biệt thường gặp:

Phép vị tự: Là phép đồng dạng với tỉ số k > 0.
Phép đối xứng tâm: Là phép đồng dạng với tỉ số k = -1.
Phép quay: Là một trường hợp đặc biệt của phép đồng dạng khi tâm đồng dạng là tâm quay và tỉ số đồng dạng là 1.

4. Ứng dụng của phép đồng dạng trong giải toán

Phép đồng dạng được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến việc chứng minh sự đồng dạng của hai hình. Một số ứng dụng cụ thể:

Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Tính tỉ lệ giữa các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác đồng dạng.
Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và đồng dạng trong hình học không gian.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 2. Biết AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 9cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Giải: Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' theo tỉ số k = 2, ta có:

A'B' = k * AB = 2 * 5cm = 10cm
B'C' = k * BC = 2 * 7cm = 14cm
C'A' = k * CA = 2 * 9cm = 18cm

Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tìm một phép đồng dạng biến hình vuông ABCD thành một hình vuông A'B'C'D' có cạnh bằng 8cm.

Giải: Ta có thể thực hiện phép vị tự tâm O (giao điểm hai đường chéo) với tỉ số k = 2 để biến hình vuông ABCD thành hình vuông A'B'C'D'.

6. Kết luận

Bài học về phép đồng dạng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về một phép biến hình then chốt trong hình học. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép đồng dạng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.