bài toán tương giao hàm bậc ba chứa tham số

Chuyên đề: Phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan bài toán tương giao của hàm bậc ba trong chương trình Giải tích 12

Chào các em học sinh! Chuyên đề này sẽ giúp các em nắm vững phương pháp giải các bài toán về tương giao của hàm bậc ba, một dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các kỹ năng cần thiết để giải quyết hiệu quả những bài toán này.

I. Phương pháp giải toán

Để giải quyết bài toán tương giao của hàm bậc ba, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

a) Xét hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị \((C).\) Việc xác định số giao điểm của đồ thị \((C)\) với trục \(Ox\) là bước quan trọng để tìm điều kiện của tham số.

Số giao điểm của đồ thị $(C)$ với trục $Ox$	Điều kiện	Đồ thị minh họa
Có ba giao điểm phân biệt	Hàm số có hai cực trị \({x_1}\), \({x_2}\) và \(y({x_1}).y({x_2}) < 0\)
Có hai giao điểm phân biệt	Hàm số có hai cực trị \({x_1}\), \({x_2}\) và \(y({x_1}).y({x_2}) = 0\)
Có một giao điểm	Hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị \({x_1}\), \({x_2}\) và \(y({x_1}).y({x_2}) /> 0\)

b) Trong nhiều bài toán, việc xác định trực tiếp các giá trị \(y({x_1})\), \(y({x_2})\) có thể gặp khó khăn. Khi đó, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm cô lập tham số \(m.\)

• Bước 1: Biến đổi phương trình \(f(x) = 0\) thành \(Am + B = 0.\)
• Bước 2: Giải hệ điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = 0}\\ {B = 0} \end{array}} \right.\}\) và tìm nghiệm \({x_0}.\)
• Bước 3: Phương trình \(Am + B = 0\) tương đương với \((x – {x_0})g(x) = 0\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x – {x_0} = 0}\\ {g(x) = 0} \end{array}} \right..\)

Từ đó, chúng ta biện luận phương trình bậc hai \(g(x) = 0\) để xác định điều kiện của tham số cần tìm.

Chú ý: Trong trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có dạng \(A{m^2} + Bm + C = 0\), chúng ta làm tương tự bằng cách giải hệ điều kiện \(A = B = C = 0\) để tìm nhân tử chung.

c) Ngoài hai cách trên, chúng ta có thể áp dụng phương pháp cô lập \(m\) đã được học trong các chuyên đề khác.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} – 3x + {m^2} + m\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Ta có \(f'(x) = 3{x^2} – 3 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = – 1} \end{array}} \right..\)

Do đó, hàm số đã cho có hai cực trị là \({x_1} = 1\), \({x_2} = – 1.\)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, ta cần \(f(1).f( – 1) < 0.\)

\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} + m – 2} \right)\left( {{m^2} + m + 2} \right) < 0\) \(\Leftrightarrow {m^2} + m – 2 < 0\) \(\Leftrightarrow – 2 < m < 1.\)

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2m – 6\):

a) Cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

b) Cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Ta có \(f(x) = {x^3} – 3{x^2} + 2m – 6\) có \(f'(x) = 3{x^2} – 6x = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right..\)

Do đó, hàm số đã cho có hai cực trị là \({x_1} = 0\), \({x_2} = 2.\)

a) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta cần \(f(0).f(2) = 0\) \(\Leftrightarrow (2m – 6)(2m – 10) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 3}\\ {m = 5} \end{array}} \right..\)

b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm duy nhất, ta cần \(f(0).f(2) /> 0\) \(\Leftrightarrow (2m – 6)(2m – 10) /> 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m /> 5}\\ {m < 3} \end{array}} \right..\)

Lời khuyên: Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững các phương pháp và kỹ năng giải toán. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Chúc các em học tập tốt!

III. Bài tập trắc nghiệm

(Các bài tập trắc nghiệm đã được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. Bài tập tự luyện

(Các bài tập tự luyện đã được cung cấp trong nội dung gốc)

V. Đáp án bài tập tự luyện

(Các đáp án bài tập tự luyện đã được cung cấp trong nội dung gốc)