bài toán tương giao hàm trùng phương chứa tham số

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao hàm trùng phương trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về phương pháp giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của hàm trùng phương với các đường thẳng hoặc trục hoành, đặc biệt chú trọng đến việc sử dụng đạo hàm để khảo sát và tìm điều kiện của tham số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Xét hàm số trùng phương có dạng: \(y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) (với \(a \neq 0\)).

Để xét sự tương giao của đồ thị hàm số với trục hoành, ta giải phương trình hoành độ giao điểm:

\(ax^4 + bx^2 + c = 0\) (1)

Đặt \(t = x^2 \geq 0\), phương trình (1) trở thành:

\(at^2 + bt + c = 0\) (2)

Việc xét nghiệm của phương trình bậc hai (2) sẽ giúp ta xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. Cụ thể:

Một số lưu ý quan trọng:

• Trong quá trình giải, cần chú ý đến điều kiện \(t = x^2 \geq 0\) để đảm bảo nghiệm tìm được là nghiệm thực của phương trình ban đầu.
• Khi \(a + b + c = 0\), phương trình (2) có hai nghiệm là \(t = 1\) và \(t = c/a\).
• Khi \(a – b + c = 0\), phương trình (2) có hai nghiệm là \(t = -1\) và \(t = -c/a\).
• Nếu đồ thị hàm số \(y = f(x) = ax^4 + bx^2 + c\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì điều kiện cần là \(9b^2 = 100ac\). Tuy nhiên, cần kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình hoành độ giao điểm để đảm bảo có đúng 4 giao điểm.
• Trong nhiều trường hợp, phương pháp cô lập tham số \(m\) và sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số trùng phương có thể giúp biện luận số giao điểm một cách hiệu quả.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để đồ thị hàm số \(f(x) = x^4 – 2x^2 + 3 – m\) cắt trục hoành:

a) Tại bốn điểm phân biệt.

b) Tại ba điểm phân biệt.

c) Tại hai điểm phân biệt.

d) Không cắt trục hoành.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^4 – 2x^2 + 3 – m = 0\). Đặt \(t = x^2 \geq 0\), ta có \(t^2 – 2t + 3 – m = 0\).

a) Để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, phương trình \(t^2 – 2t + 3 – m = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta’ = 1 – (3 – m) > 0}\\

{2 > 0}\\

{3 – m > 0} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 2}\\

{m < 3} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 2 < m < 3\).

b) Để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, phương trình \(t^2 – 2t + 3 – m = 0\) phải có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương. Điều này tương đương với:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3 – m = 0}\\

{2 > 0} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = 3\).

c) Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, phương trình \(t^2 – 2t + 3 – m = 0\) phải có một nghiệm dương và một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương. Điều này tương đương với:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{(3 – m) < 0}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta’ = 0}\\

{1 > 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 3}\\

{m = 2} \end{array}} \right.\).

d) Để đồ thị không cắt trục hoành, phương trình \(t^2 – 2t + 3 – m = 0\) phải vô nghiệm hoặc có hai nghiệm đều âm. Điều này tương đương với:

\(\left[ {\begin{array}{l}

{\Delta’ = m – 2 < 0}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta’ \ge 0}\\

{2 < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m < 2\).

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

(Các bài tập và đáp án đã được cung cấp trong nội dung gốc)

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(Các bài tập đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!