đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán năm 2023 – 2024 sở gd&đt lạng sơn

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh bộ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn tổ chức. Đây là một nguồn tài liệu quý báu để rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán, đặc biệt là đối với các em học sinh có đam mê và mong muốn đạt thành tích cao trong các kỳ thi học sinh giỏi.

Bộ đề thi này bao gồm ba bài toán với độ khó cao, đòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc, tư duy logic sắc bén và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài toán:

1. Bài 1: Xét các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn tính chất “Với bất kì hai số thực x,y luôn có: |y² – P(x)| ≤ 2|x| khi và chỉ khi |x² – P(y)| ≤ 2|y|”. Ta gọi S là tập tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện ở trên.

   • a) Hãy chứng minh rằng họ đa thức P(x) với C > 0 và đa thức Q(x) = x² + 1 cùng thuộc vào tập S.
   • b) Giả sử rằng P(x) thuộc S và P(0) ≥ 0. Chứng minh rằng P(x) là hàm số chẵn.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào việc khám phá tính chất của các đa thức và sử dụng các kỹ thuật chứng minh toán học. Yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức về đa thức, bất đẳng thức và hàm số.

2. Bài 2: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Giả sử G, L, K lần lượt là giao điểm của các đường thẳng EF, FD, DE với BC, CA, AB tương ứng.

   • a) Chứng minh rằng G, L, K thẳng hàng.
   • b) Lấy các điểm P, Q lần lượt đối xứng với D qua B, C tương ứng. Đường tròn bàng tiếp tâm J ứng với đỉnh A của tam giác ABC tiếp xúc với BC tại N; gọi R là điểm đối xứng với N qua J. Chứng minh (PQR) tiếp xúc với (I).

   Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực hình học, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp, tính chất đối xứng và các định lý liên quan đến tam giác. Bài toán này đòi hỏi sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa kiến thức hình học và kỹ năng chứng minh.

3. Bài 3: Một trường có 2007 nam và 2007 nữ. Mỗi học sinh tham gia không quá 100 câu lạc bộ; biết rằng bất kì hai bạn khác giới (1 nam và 1 nữ) tham gia ít nhất cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng tồn tại một câu lạc bộ bao gồm ít nhất 11 nam và 11 nữ.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích vấn đề. Bài toán này có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet hoặc các kỹ thuật đếm khác.

Lời khuyên:

Các em học sinh hãy dành thời gian nghiên cứu kỹ lưỡng từng bài toán, tìm hiểu các kiến thức liên quan và thử sức giải chúng. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy kiên trì và tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô giáo, bạn bè. Việc giải các bài toán khó sẽ giúp các em rèn luyện tư duy, nâng cao kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi sắp tới.

giaitoan.edu.vn tin rằng với sự nỗ lực và cố gắng không ngừng, các em sẽ đạt được những thành công xứng đáng trên con đường chinh phục tri thức!