đề học sinh giỏi toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở gd&đt vĩnh phúc

giaitoan.edu.vn xin trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT năm học 2023 – 2024 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc tổ chức.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo. Đề thi bao gồm ba bài toán với độ khó tăng dần, bao phủ các lĩnh vực đại số, hình học và tổ hợp.

Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc:

1. Bài 1: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Kí hiệu G(n) là ước nguyên tố lớn nhất của n.

   • a) Chứng minh rằng nếu n + 1 là lũy thừa của 2 và n chia hết cho 11 thì G(n) /> 11.
   • b) Hai số nguyên tố phân biệt p, q được gọi là xa lạ nếu không tồn tại số nguyên dương n lớn hơn 1 để hai tập hợp {p;q} và {G(n);G(n + 1)} trùng nhau. Chứng minh rằng nếu p < q là hai số nguyên tố lẻ sao cho ord_p2 = ord_q2 thì 2 và p là hai số xa lạ và có vô hạn cặp số nguyên tố (p;q) sao cho p < q và hai số p và q là xa lạ.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về lý thuyết số, đặc biệt là các khái niệm về ước nguyên tố, lũy thừa và tính chất của số nguyên tố. Câu a yêu cầu học sinh vận dụng các tính chất chia hết và ước để chứng minh một bất đẳng thức. Câu b đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số và khả năng chứng minh sự tồn tại vô hạn của các cặp số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước.

2. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại đỉnh A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CB và CA, M là trung điểm của DE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt cạnh AB tại điểm N. Tiếp tuyến tại M và N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt nhau tại điểm P.

   • a) Đường thẳng AM cắt tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM ở điểm Q. Chứng minh rằng P, D, Q thẳng hàng.
   • b) Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường thẳng BC.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực hình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về đường tròn ngoại tiếp, tiếp tuyến, tính chất của tam giác cân và các định lý về đường thẳng song song, đồng quy. Việc sử dụng các tính chất hình học một cách linh hoạt và kết hợp với các kỹ năng chứng minh hình học là rất quan trọng để giải quyết bài toán này.

3. Bài 3: Cho số nguyên dương n /> 1, số nguyên dương k được gọi là n-good nếu với mọi cách tô màu mỗi số nguyên dương 1; 2; …; k bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì ta luôn chọn được n số cùng màu (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng của n số này cũng nằm trong tập hợp {1; 2; …; k} và cùng màu với n số vừa chọn.

   • a) Tìm số 2-good nhỏ nhất.
   • b) Tìm số 2024-good nhỏ nhất.

   Nhận xét: Bài toán này thuộc về lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích các trường hợp. Việc hiểu rõ định nghĩa của số n-good và vận dụng các kỹ năng đếm, tổ hợp là rất cần thiết để giải quyết bài toán này.

Lời khuyên: Đề thi này là một cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán. Hãy dành thời gian suy nghĩ, tìm tòi và thử sức với các bài toán này. Đừng nản lòng khi gặp khó khăn, hãy kiên trì và tìm kiếm sự giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè. Chúc các em học tập tốt và đạt được những thành công trong kỳ thi sắp tới!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục tri thức.