đề chọn đội tuyển thi hsg qg môn toán thpt năm 2024 – 2025 sở gd&đt bắc ninh

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 12 bộ đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh tổ chức vào ngày 21 tháng 08 năm 2024.

Đây là một đề thi có chất lượng chuyên môn cao, thể hiện rõ xu hướng ra đề của các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia hiện nay. Đề thi bao gồm ba bài toán, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt và khả năng tư duy sáng tạo.

Dưới đây là trích dẫn nội dung chi tiết của đề thi:

1. Bài 1: Gọi a là nghiệm dương của phương trình x² + x – 5 = 0. Với số nguyên dương n nào đó, gọi c₀, c₁, c₂, …, c_n là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức c₀ + c₁a + c₂a² + … + c_naⁿ = 2025.
   • a) Chứng minh rằng c₀ + c₁ + c₂ + … + c_n chia hết cho 3.
   • b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng T = c₀ + c₁ + c₂ + … + c_n.
   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về nghiệm của phương trình bậc hai, tính chất chia hết và kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất. Yêu cầu thí sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích tốt.
2. Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi O, N lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Ơle của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại A’. Gọi A₁ là trung điểm của OA’. Tương tự dựng B₁, C₁.
   • a) Chứng minh các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁ đồng quy tại điểm K là điểm liên hợp đẳng giác của N trong tam giác ABC.
   • b) Gọi A₂, B₂, C₂ lần lượt là giao điểm của AK, BK, CK với (O). Các điểm A₃, B₃, C₃ lần lượt là các điểm đối xứng của A₂, B₂, C₂ qua BC, CA, AB. Chứng minh các điểm O, H, A₃, B₃, C₃ cùng thuộc một đường tròn.
   Nhận xét: Bài toán này đòi hỏi kiến thức sâu rộng về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn Ơle, điểm liên hợp đẳng giác và các tính chất đối xứng trong hình học. Đây là một bài toán khó, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng vẽ hình, suy luận và chứng minh một cách chặt chẽ.
3. Bài 3: Cho n là số nguyên dương. Một hoán vị a₁, a₂, …, a_n của dãy 1, 2, …, n được gọi là tốt nếu thỏa mãn a₁ ≤ 2a₂ ≤ 3a₃ ≤ … ≤ nan.
   • a) Chứng minh nếu a₁, a₂, …, a_n là một hoán vị tốt thì hoặc a_n = n hoặc a_n – 1 = n và a_n = n – 1.
   • b) Tìm số các hoán vị tốt.
   Nhận xét: Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp, đòi hỏi thí sinh phải hiểu rõ khái niệm hoán vị và áp dụng các kỹ thuật đếm một cách hiệu quả. Bài toán có tính chất logic cao, đòi hỏi thí sinh phải có khả năng phân tích và suy luận một cách chính xác.

Lời khích lệ:

Bộ đề thi này là một cơ hội tuyệt vời để các em học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán, mở rộng kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia sắp tới. Hãy dành thời gian suy nghĩ, tìm tòi và thử sức với những bài toán này. Đừng nản lòng trước những khó khăn, hãy coi đó là động lực để các em cố gắng hơn nữa. Chúc các em thành công!

giaitoan.edu.vn luôn đồng hành và hỗ trợ các em trên con đường chinh phục tri thức.