đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia thpt môn toán năm học 2019 – 2020

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020, được tổ chức vào ngày 27 và 28 tháng 12 năm 2019. Đây là một tài liệu quý báu để các em học sinh có thể rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán.

Đề thi VMO 2019 – 2020 bao gồm 7 bài toán thuộc các chủ đề: Giới hạn dãy số, Bất đẳng thức, Dãy số nguyên, Hình học phẳng, Hệ phương trình và Tổ hợp. Nhìn chung, đề thi năm nay có những điểm mới so với các năm trước.

Đánh giá chung về đề thi:

• Ngày thi đầu tiên: Đề thi có sự phân hóa rõ ràng. Các câu hỏi đều có phần ý a đóng vai trò dẫn dắt, gợi ý và thậm chí là cho điểm. Ý tưởng các bài toán tuy không quá đột phá nhưng vẫn đòi hỏi sự tư duy và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Dự đoán, đa số thí sinh có thể hoàn thành tốt phần ý a của 4 bài, và có thể giải thêm được một phần ý b. Độ khó của các ý b tương đương nhau, phụ thuộc vào sở trường của từng thí sinh. Tuy nhiên, việc giải quyết hoàn toàn bài hình học phẳng là một thách thức không nhỏ.
• Ngày thi thứ hai: Xuất hiện một số bất ngờ thú vị. Câu biện luận hệ phương trình và ý tổ hợp a có độ khó thấp, gần như cho điểm hoàn toàn. Các câu hệ a và tổ a được đánh giá là dễ, giúp thí sinh có thêm tự tin. Câu hình học và tổ hợp b ở mức độ trung bình, đòi hỏi thí sinh xây dựng mô hình bài toán một cách chính xác. Tuy nhiên, câu hệ b và tổ hợp c thực sự là những thử thách lớn, đòi hỏi kỹ năng xử lý tình huống và khả năng sáng tạo cao.

Nhận xét: Đề thi năm nay có tính mới mẻ, đòi hỏi thí sinh không chỉ nắm vững kiến thức nền tảng mà còn cần có khả năng tư duy sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải quyết vấn đề.

Một số bài toán tiêu biểu:

1. Bài 1 (Tổ hợp): Cho số nguyên dương n > 1. Ký hiệu T là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự (x, y, z) trong đó x, y, z là các số nguyên dương đôi một khác nhau và 1 ≤ x, y, z ≤ 2n. Một tập hợp A các bộ có thứ tự (u, v) được gọi là “liên kết” với T nếu với mỗi phần tử (x, y, z) ∈ T thì {(x, y),(x, z),( y, z)} ∩ A = ∅.
   • a) Tính số phần tử của T.
   • b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với T có đúng 2n(n − 1) phần tử.
   • c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với T có không ít hơn 2n(n− 1) phần tử.
2. Bài 2 (Dãy số): Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và an+1 = 5an – 6an-1 với mọi n lớn hơn hoặc bằng 2.
   • a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
   • b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2^k thì (p – 1) chia hết cho 2^(k + 1) với mọi số tự nhiên k.
3. Bài 3 (Hình học): Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB.
   • a) Gọi Ha là điểm đối xứng của H qua BC, A’ là điểm đối xứng của A qua O và Oa là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC. Chứng minh rằng HaD và OaA’ cắt nhau trên (O).
   • b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AXDA’ là hình bình hành. Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHX, ABF và ACE có một điểm chung thứ hai khác A.

Lời khích lệ: Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội để các em thể hiện năng lực và đam mê với môn Toán. Hãy cố gắng ôn luyện chăm chỉ, rèn luyện kỹ năng giải toán và đừng ngại thử sức với những bài toán khó. Chúc các em đạt được kết quả tốt nhất!