đề thi chọn học sinh giỏi toán 11 trại hè hùng vương lần thứ 18 năm 2024

giaitoan.edu.vn trân trọng giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh lớp 11 bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán kỳ thi Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 02 tháng 08 năm 2024, đề thi được biên soạn công phu, đánh giá năng lực toàn diện của học sinh và đi kèm với đáp án, lời giải chi tiết, giúp học sinh tự học và ôn luyện hiệu quả.

Bộ đề thi năm nay bao gồm những bài toán đòi hỏi tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng kiến thức sâu rộng và kỹ năng giải quyết vấn đề linh hoạt. Dưới đây là một số trích dẫn tiêu biểu:

1. Bài toán 1: Hình học

   Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc tia đối của tia AB (M khác A). Kẻ đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi N là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Đường tròn (IEF) cắt NI tại điểm thứ hai là J.

   • a) Chứng minh rằng F, A, J thẳng hàng.
   • b) Gọi P là điểm đối xứng với I qua O. Đường thẳng đi qua I song song với NP cắt AB tại Q; đường thẳng đi qua Q song song với NI cắt PA, PB lần lượt tại R, S. Chứng minh rằng đường thẳng PRS tiếp xúc với đường tròn (IEF).

   Nhận xét: Đây là một bài toán hình học không gian điển hình, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đường tròn, tính chất của các điểm đặc biệt và các định lý liên quan đến đường thẳng, đường tròn. Bài toán khuyến khích học sinh sử dụng phương pháp tọa độ hoặc phương pháp biến hình để tìm ra lời giải.

2. Bài toán 2: Tổ hợp - Số học

   Cô giáo viết lên bảng 80 số thực phân biệt và đưa ra thử thách cho một nhóm học sinh. Mỗi bạn ban đầu được phát hai mảnh giấy và sẽ dựa theo các số trên bảng để thảo luận với nhau mà viết lên mỗi mảnh giấy nhận được một con số (các số không nhất thiết phân biệt và cũng không nhất thiết giống số nào đó của cô). Mỗi lượt thử thách cô giáo đọc một số x trên bảng và yêu cầu tất cả học sinh đều phải chọn một trong hai mảnh giấy của mình để giơ lên. Lượt thử thách được vượt qua nếu tổng tất cả các số trên các tờ giấy được giơ lên đúng bằng x. Nhóm học sinh được coi là vượt qua thử thách nếu vượt qua tất cả 80 lượt thử thách ứng với 80 số đã cho.

   • a) Chứng minh rằng cho dù cô giáo viết những số nào thì một nhóm gồm 79 bạn chắc chắn sẽ luôn có cách vượt qua thử thách.
   • b) Nếu cô viết các số 0, 1, 7, 9 thì nhóm cần ít nhất bao nhiêu bạn để có thể vượt qua thử thách?

   Nhận xét: Bài toán này kết hợp kiến thức về tổ hợp và số học, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và khả năng phân tích vấn đề. Ý a của bài toán có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet, trong khi ý b đòi hỏi học sinh phải tìm ra một chiến lược tối ưu để chọn số trên các mảnh giấy.

3. Bài toán 3: Số học

   Một số nguyên dương h gọi là số “Hòa Bình” nếu tồn tại hai số nguyên x, y thoả mãn 2^x + 2^y = h và x lẻ.

   • a) Chứng minh rằng số 2 là một số “Hòa Bình”.
   • b) Tìm số “Hòa Bình” nhỏ nhất.

   Nhận xét: Bài toán này tập trung vào kiến thức về số học, đặc biệt là các tính chất của lũy thừa. Học sinh cần nắm vững các quy tắc về lũy thừa và khả năng phân tích số nguyên để tìm ra lời giải.

File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG

Lời khích lệ:

Các em học sinh thân mến! Đề thi này là một thử thách lớn, nhưng cũng là cơ hội tuyệt vời để các em rèn luyện và nâng cao kiến thức, kỹ năng của mình. Hãy tự tin, kiên trì và không ngừng học hỏi. Chúc các em đạt kết quả tốt nhất!

Quý thầy cô giáo có thể sử dụng bộ đề này để chuẩn bị cho học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, đồng thời bổ sung và hoàn thiện chương trình giảng dạy.