giải bài tập sgk hình học 12 nâng cao: mặt trụ, hình trụ và khối trụ

## Hướng dẫn Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa Hình Học 12 Nâng Cao: Mặt Trụ, Hình Trụ và Khối Trụ Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, tập trung vào kiến thức về mặt trụ, hình trụ và khối trụ. Mục tiêu là giúp các em học sinh nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong quá trình học tập. **Đánh giá chung:** Các lời giải được trình bày khá rõ ràng, có sử dụng hình vẽ minh họa, giúp người học dễ hình dung và theo dõi. Tuy nhiên, một số lời giải có thể được bổ sung thêm các bước suy luận logic để tăng tính chặt chẽ và dễ hiểu hơn. Việc trình bày cũng có thể được cải thiện để tăng tính thẩm mỹ và chuyên nghiệp. **Nội dung chi tiết:** **CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP** **Bài 11.** Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng. **Lời giải:** Giả sử \(H\) là hình tròn xoay có trục \(\Delta\). Lấy một điểm \(M \in H\) và gọi \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(\Delta\). Khi đó, \(MM’\) là đường kính của đường tròn \({C_M}\), do đó \(M’ \in H\). Điều này chứng tỏ \(\Delta\) là trục đối xứng của \(H\). Hơn nữa, mọi mặt phẳng \((P)\) đi qua \(\Delta\) đều là mặt phẳng đối xứng của \(H\). Thật vậy, nếu \(M \in H\) và \(M’\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((P)\), thì \(M’\) cũng nằm trên đường tròn \({C_M}\), suy ra \(M’ \in H\). **Nhận xét:** Lời giải đã chỉ ra một cách chính xác trục đối xứng và các mặt phẳng đối xứng của hình tròn xoay. **Bài 12.** Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Hình sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. **Lời giải:** [Hình ảnh minh họa] a) Hình sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư gọi là **hình trụ**. b) Hình sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh gọi là **khối trụ**. **Nhận xét:** Câu trả lời chính xác và ngắn gọn, thể hiện sự hiểu biết về định nghĩa của hình trụ và khối trụ. **Bài 13.** Cho đường tròn \((O;R)\) nằm trong mặt phẳng \((P)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên \((P)\) luôn nằm trên đường tròn đã cho. **Lời giải:** [Hình ảnh minh họa] Gọi \(\Delta\) là trục của đường tròn \((O;R)\). Nếu điểm \(M\) có hình chiếu \(M’\) nằm trên \((O;R)\) thì \(MM’ \perp (P)\) và \(M’O = R\). Do đó, tập hợp các điểm \(M\) như thế là **mặt trụ** có trục là \(\Delta\) và có bán kính bằng \(R\). **Nhận xét:** Lời giải đã xác định đúng tập hợp các điểm \(M\) là một mặt trụ, dựa trên điều kiện hình chiếu của chúng nằm trên đường tròn cho trước. **Bài 14.** Chứng minh rằng các tiếp tuyến của một mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định. **Lời giải:** [Hình ảnh minh họa] Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và đường thẳng \(d\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(d\). Giả sử \(l\) là tiếp tuyến của mặt cầu và \(l \parallel d\), thì \(l \parallel \Delta\) và khoảng cách từ \(l\) đến \(\Delta\) bằng \(R\). Vậy \(l\) nằm trên **mặt trụ** có trục là \(\Delta\) và có bán kính bằng \(R\). **Nhận xét:** Lời giải đã chứng minh một cách logic rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ. **Bài 15.** Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh \(2R\). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. **Lời giải:** Theo bài ra, hình trụ có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(h = 2R\). a) Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2\). b) Diện tích toàn phần: \(S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2\). c) Thể tích khối trụ: \(V = \pi R^2 h = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3\). d) Khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ có đáy là hình vuông cạnh \(R\sqrt{2}\) và chiều cao \(2R\). Vậy thể tích: \(V_{LT} = (R\sqrt{2})^2 \cdot 2R = 4R^3\). **Nhận xét:** Các công thức được áp dụng chính xác và tính toán đúng. **Bài 16.** Một hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(R\sqrt{3}\). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ. c) Cho hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(30^0\). Tính khoảng cách giữa \(AB\) và trục của hình trụ. **Lời giải:** a) Diện tích xung quanh: \(S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R (R\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\pi R^2\). b) Diện tích toàn phần: \(S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 2\sqrt{3}\pi R^2 + 2\pi R^2 = 2(\sqrt{3} + 1)\pi R^2\). c) Thể tích khối trụ: \(V = \pi R^2 h = \pi R^2 (R\sqrt{3}) = \sqrt{3}\pi R^3\). d) [Hình ảnh minh họa] Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(O’H\) là khoảng cách giữa \(AB\) và trục \(OO’\). Ta có \(BA’ = AA’ \tan 30^0 = R\). Suy ra \(O’H = \frac{R\sqrt{3}}{2}\). **Nhận xét:** Lời giải phần c) cần bổ sung thêm các bước suy luận để rõ ràng hơn. **Lời động viên:** Các em học sinh đã hoàn thành việc ôn tập và giải các bài tập về mặt trụ, hình trụ và khối trụ. Hy vọng rằng, với những kiến thức và kỹ năng đã học, các em sẽ tự tin hơn trong các bài kiểm tra và các kỳ thi sắp tới. Hãy tiếp tục nỗ lực học tập, rèn luyện kỹ năng giải toán và khám phá những điều thú vị trong thế giới toán học! Đừng ngần ngại hỏi thầy cô và bạn bè khi gặp khó khăn, và hãy luôn tin tưởng vào khả năng của bản thân. Chúc các em thành công!