Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Trong hình học, đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và chúng đồng quy tại một điểm đặc biệt gọi là trọng tâm của tam giác.

I. Lý thuyết cần nắm vững

1. Đường trung tuyến của tam giác: Là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.
2. Trọng tâm của tam giác: Giao điểm của ba đường trung tuyến.
3. Tính chất của trọng tâm: Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn thẳng, với đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn thẳng từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện. (GA = 2/3 AM, GB = 2/3 BN, GC = 2/3 CP, với AM, BN, CP là các đường trung tuyến).

II. Giải bài tập SGK Toán 7 - Cánh diều tập 2 - Bài 10

Bài 1: (Hình vẽ minh họa)

• a) Tìm trọng tâm G của tam giác ABC.
• b) Tính độ dài các đoạn thẳng AG, BG, CG.

Hướng dẫn giải:

• a) Để tìm trọng tâm G, ta cần vẽ ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Giao điểm của ba đường trung tuyến này chính là trọng tâm G.
• b) Sử dụng tính chất của trọng tâm, ta có AG = 2/3 AM, BG = 2/3 BN, CG = 2/3 CP. Đo độ dài các đoạn AM, BN, CP trên hình vẽ và áp dụng công thức để tính AG, BG, CG.

Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Tính AG.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất của trọng tâm, ta có AG = 2/3 AM = 2/3 * 9cm = 6cm.

Bài 3: (Bài tập nâng cao)

Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AG + BG + CG = 2/3 (AB + BC + CA).

Hướng dẫn giải:

Sử dụng tính chất của trọng tâm và trung điểm, ta có thể chứng minh biểu thức trên bằng cách biểu diễn AG, BG, CG qua các đoạn thẳng AM, BN, CP và sử dụng bất đẳng thức tam giác.

III. Mở rộng và vận dụng

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến trọng tâm và tính chất đối xứng của tam giác. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc tiếp cận các bài toán phức tạp hơn.

IV. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online khác. Hãy chú trọng việc vẽ hình và áp dụng đúng các tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm để đạt được kết quả tốt nhất.

Giaitoan.edu.vn hy vọng với bài giải chi tiết này, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - SGK Toán 7 - Cánh diều. Chúc bạn học tốt!