Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm trên cạnh đối diện sao cho chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Bài 11 trong sách Toán 7 tập 2 - Cánh diều đi sâu vào việc khám phá tính chất đặc biệt của giao điểm ba đường phân giác trong một tam giác.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện và chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của đỉnh đó. Ví dụ, trong tam giác ABC, đường phân giác kẻ từ đỉnh A chia cạnh BC thành hai đoạn BD và DC sao cho BD/DC = AB/AC.

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này được gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Điều này có nghĩa là, nếu ta kẻ ba đường phân giác của tam giác ABC, chúng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, gọi là I. Điểm I này cách đều ba cạnh của tam giác.

3. Chứng minh tính chất ba đường phân giác đồng quy

Chứng minh này dựa trên việc sử dụng tính chất của đường phân giác và các định lý về tam giác. Ta có thể chứng minh bằng cách xét giao điểm của hai đường phân giác bất kỳ, sau đó chứng minh giao điểm này cũng nằm trên đường phân giác thứ ba.

4. Ứng dụng của tính chất ba đường phân giác

Giải bài tập: Tính chất này được sử dụng để giải các bài tập liên quan đến việc tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh của tam giác khi biết tỷ lệ giữa các cạnh kề.
Xây dựng hình học: Tính chất này giúp xây dựng các hình học liên quan đến đường tròn nội tiếp và các yếu tố khác của tam giác.
Ứng dụng thực tế: Trong các lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật, tính chất này được sử dụng để thiết kế các cấu trúc có tính đối xứng và cân bằng.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác. Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC (với D là giao điểm của đường phân giác từ A và cạnh BC).

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: BD/DC = AB/AC = 5/7
Vì BD + DC = BC = 8cm, ta có hệ phương trình:

BD/DC = 5/7
BD + DC = 8

Giải hệ phương trình, ta được: BD ≈ 2.86cm, DC ≈ 5.14cm

6. Mở rộng kiến thức

Ngoài tính chất ba đường phân giác đồng quy, còn có các tính chất khác liên quan đến đường phân giác như:

Đường phân giác của góc ngoài của tam giác.
Mối quan hệ giữa đường phân giác và đường cao.
Mối quan hệ giữa đường phân giác và đường trung tuyến.

Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và sáng tạo hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo để nâng cao kiến thức của bản thân.

Hy vọng với những giải thích chi tiết và bài tập ví dụ minh họa trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn về Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác - SGK Toán 7 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!