Bài 17. Hàm số liên tục

Bài 17. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 17 trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào khái niệm hàm số liên tục, một trong những khái niệm nền tảng của giải tích. Hiểu rõ về hàm số liên tục là bước đệm quan trọng để học các kiến thức nâng cao hơn như đạo hàm, tích phân và ứng dụng của chúng.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. Hàm số f(x) xác định tại x₀, tức là f(x₀) có nghĩa.
2. Tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀, ký hiệu là lim_x→x0 f(x).
3. Giá trị của hàm số tại x₀ bằng giới hạn của nó tại x₀, tức là f(x₀) = lim_x→x0 f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Các tính chất của hàm số liên tục

• Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

4. Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong vật lý: Mô tả sự biến đổi liên tục của các đại lượng vật lý như vận tốc, gia tốc, nhiệt độ,...
• Trong kinh tế: Phân tích sự thay đổi liên tục của các yếu tố kinh tế như giá cả, sản lượng,...
• Trong kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển tự động, đảm bảo sự ổn định và chính xác của hệ thống.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Chứng minh rằng hàm số này liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực.

Lời giải:

Vì f(x) là một hàm đa thức, nên nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập số thực. Cụ thể, để chứng minh f(x) liên tục tại x₀, ta cần chứng minh f(x₀) xác định, lim_x→x0 f(x) tồn tại và f(x₀) = lim_x→x0 f(x). Điều này hiển nhiên đúng vì f(x₀) = x₀² + 1 và lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 (x² + 1) = x₀² + 1.

Bài tập 2: Xét hàm số f(x) = 1/x. Hàm số này liên tục tại những điểm nào?

Lời giải:

Hàm số f(x) = 1/x không xác định tại x = 0. Do đó, hàm số này không liên tục tại x = 0. Với mọi x ≠ 0, hàm số f(x) liên tục vì nó là một hàm hữu tỉ và mẫu số khác 0.

6. Lời khuyên khi học về hàm số liên tục

• Nắm vững định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng.
• Hiểu rõ các tính chất của hàm số liên tục.
• Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm vẽ đồ thị để minh họa và kiểm tra kết quả.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về hàm số liên tục. Chúc các em học tập tốt!