Bài 5.25 trang 86 sách bài tập Toán 11 thuộc chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài giải chi tiết dưới đây sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và tự tin hơn khi làm bài tập.
Giaitoan.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các lưu ý quan trọng để giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:
Đề bài
Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:
a) \({x^2} = \sqrt {x + 1} \), trong khoảng \(\left( {1;2} \right)\)
b) \(\cos x = x,\) trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - {x^2}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).
Mà \(f\left( 1 \right) = 1 - \sqrt 2 < 0,f\left( 2 \right) = 4 - \sqrt 2 > 0.\)
Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm \(c \in \left( {1;2} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)
b) Hàm số \(f\left( x \right) = \cos x - x\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).
Mà \(f\left( 0 \right) = 1 > 0,f\left( 1 \right) = \cos 1 - 1 < 0.\)
Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm \(c \in \left( {0;1} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)
Bài 5.25 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài này, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Phân tích bài toán cụ thể:
Trong bài 5.25, hàm số được cho là y = (1/3)x3 - 2x2 + 3x + 1. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán này.
Hàm số y = (1/3)x3 - 2x2 + 3x + 1 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
f'(x) = x2 - 4x + 3
Giải phương trình f'(x) = 0:
x2 - 4x + 3 = 0
Phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 và x2 = 3
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Lưu ý quan trọng:
Ứng dụng của bài toán:
Việc khảo sát hàm số và tìm cực trị có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó, hoặc tìm điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa.
Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài 5.25 trang 86 sách bài tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống. Chúc các em học tốt!
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác tại giaitoan.edu.vn để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.
