Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng - SGK Toán 10 - Cánh diều

Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10. Bài học này sẽ cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và nâng cao về hàm số bậc hai, bao gồm định nghĩa, các dạng của hàm số, cách vẽ đồ thị và ứng dụng của nó trong thực tế.

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là: y = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Hàm số bậc hai còn được gọi là parabol.

• a: Hệ số bậc hai, quyết định độ mở và chiều của parabol.
• b: Hệ số bậc nhất.
• c: Hệ số tự do.

2. Các dạng của hàm số bậc hai

Dựa vào dấu của hệ số a, hàm số bậc hai có thể có các dạng sau:

• a > 0: Parabol có dạng chữ U, mở lên trên.
• a < 0: Parabol có dạng chữ U ngược, mở xuống dưới.

3. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c là một parabol.

Các yếu tố cơ bản của parabol:

• Đỉnh (I): Tọa độ đỉnh I(x₀; y₀) được tính bởi: x₀ = -b/2a và y₀ = f(x₀).
• Trục đối xứng: Đường thẳng x = x₀.
• Tiêu điểm (F): F(x₀; a + y₀).
• Đường chuẩn (Δ): y = -a - y₀.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

1. Xác định hệ số a, b, c.
2. Tính tọa độ đỉnh I(x₀; y₀).
3. Vẽ trục đối xứng x = x₀.
4. Xác định một vài điểm thuộc đồ thị (ví dụ: giao điểm với trục Oy, trục Ox).
5. Nối các điểm đã xác định để vẽ parabol.

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính quỹ đạo của vật ném.
• Thiết kế các công trình kiến trúc có hình parabol (ví dụ: cầu, ăng-ten).
• Giải các bài toán tối ưu hóa.

5. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x² - 4x + 3.

Giải:

• a = 1, b = -4, c = 3.
• x₀ = -(-4)/(2*1) = 2.
• y₀ = 2² - 4*2 + 3 = -1.
• Đỉnh I(2; -1).
• Trục đối xứng x = 2.
• Giao điểm với trục Oy: A(0; 3).
• Giao điểm với trục Ox: B(1; 0) và C(3; 0).

Vẽ parabol đi qua các điểm I(2; -1), A(0; 3), B(1; 0) và C(3; 0).

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hàm số y = (m-1)x² + 2x + 3 là hàm số bậc hai.

Giải:

Hàm số là hàm số bậc hai khi và chỉ khi m - 1 ≠ 0, tức là m ≠ 1.

Kết luận

Bài học về hàm số bậc hai đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và quan trọng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai.