Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao khả năng tư duy logic.

1. Khái niệm về Hoán vị

Hoán vị là một cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính theo công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau trên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

2. Khái niệm về Chỉnh hợp

Chỉnh hợp là một cách chọn và sắp xếp k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử (k ≤ n). Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính theo công thức:

A_n^k = n! / (n - k)!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp 2 học sinh từ một lớp học gồm 10 học sinh để làm nhiệm vụ?

Giải: Số cách chọn và sắp xếp là A₁₀² = 10! / (10 - 2)! = 10! / 8! = 10 x 9 = 90

3. Khái niệm về Tổ hợp

Tổ hợp là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính theo công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n - k)!)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một lớp học gồm 10 học sinh để thành lập một nhóm?

Giải: Số cách chọn là C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

4. Phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có quan tâm đến thứ tự hay không:

• Hoán vị: Quan tâm đến thứ tự.
• Chỉnh hợp: Quan tâm đến thứ tự.
• Tổ hợp: Không quan tâm đến thứ tự.

5. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập áp dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:

1. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?
2. Có bao nhiêu cách chọn 5 người từ một nhóm 10 người để tham gia một cuộc thi?
3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách sao cho hai cuốn sách cụ thể luôn đứng cạnh nhau?

6. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, bạn cần xác định rõ:

• Có cần quan tâm đến thứ tự hay không?
• Có lặp lại phần tử hay không?
• Số lượng phần tử cần chọn hoặc sắp xếp là bao nhiêu?

Việc nắm vững các khái niệm và công thức, cùng với việc luyện tập thường xuyên, sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!