Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 2 trong chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán tối ưu của chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong việc nắm vững phương pháp giải quyết các bài toán thực tế bằng công cụ đạo hàm. Bài học này không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giúp học sinh tự tin đối mặt với các dạng bài tập khác nhau.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

Xác định hàm số: Xác định hàm số f(x) biểu diễn đại lượng cần tối ưu.
Tìm tập xác định: Xác định tập xác định của hàm số f(x).
Tính đạo hàm: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng của hàm số.
Xét dấu đạo hàm: Xét dấu đạo hàm f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
Kết luận: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Trong chuyên đề này, có một số dạng bài tập thường gặp mà học sinh cần nắm vững:

Bài toán tối ưu hình học: Tìm kích thước của một hình chữ nhật, hình hộp chữ nhật, hình trụ, hình nón,... để diện tích, thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Bài toán tối ưu kinh tế: Tìm số lượng sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán tối ưu vật lý: Tìm vận tốc, gia tốc,... để đạt được hiệu quả tối ưu.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để rào mảnh đất đó với chi phí thấp nhất?

Giải:

Gọi x, y là chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật. Ta có:

Diện tích: xy = 100
Chu vi: P = 2(x + y)

Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào P, ta được:

P(x) = 2(x + 100/x)

Tính đạo hàm P'(x) = 2(1 - 100/x²). Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10. Khi đó y = 10. Vậy mảnh đất hình vuông có cạnh 10m sẽ sử dụng ít hàng rào nhất.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.
Bài 3: Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ có thể tích 1000cm³. Hỏi bán kính đáy của hộp thiếc phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hộp thiếc nhỏ nhất?

V. Kết luận

Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tế. Chúc bạn học tập tốt!