Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm ngẫu nhiên và khả năng xảy ra của các sự kiện. Bài 28 trong sách bài tập (SBT) Toán 11 - Kết nối tri thức tập trung vào ba khái niệm cơ bản: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B (ký hiệu là A ∪ B) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B (ký hiệu là A ∩ B) là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao (khi A và B độc lập):

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

3. Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Điều này có nghĩa là:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu hai biến cố A và B độc lập, thì:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. A là biến cố “xuất hiện mặt số chẵn”, B là biến cố “xuất hiện mặt số lớn hơn 3”. Tìm P(A ∪ B) và P(A ∩ B).

Giải:

• P(A) = 3/6 = 1/2 (các mặt chẵn là 2, 4, 6)
• P(B) = 3/6 = 1/2 (các mặt lớn hơn 3 là 4, 5, 6)
• P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3 (các mặt vừa chẵn vừa lớn hơn 3 là 4, 6)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3

Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. A là biến cố “quả bóng thứ nhất màu đỏ”, B là biến cố “quả bóng thứ hai màu đỏ”. Kiểm tra xem A và B có độc lập không.

Giải:

P(A) = 5/8

P(B|A) = 4/7 (nếu quả bóng thứ nhất màu đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 3 quả xanh)

Vì P(B|A) ≠ P(B), nên A và B không độc lập.

Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu trắng.
2. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
3. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng ít nhất một phát.

Kết luận

Bài 28 cung cấp những kiến thức cơ bản về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc hiểu rõ các khái niệm này và áp dụng các công thức một cách linh hoạt sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.