Bài 3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Trong thống kê, việc mô tả một tập dữ liệu không chỉ dừng lại ở việc tìm các giá trị trung tâm như trung bình cộng, trung vị, mốt. Để hiểu rõ hơn về sự phân tán của dữ liệu, chúng ta cần sử dụng các số đặc trưng đo mức độ phân tán. Bài 3 trong SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 giới thiệu ba số đặc trưng quan trọng: khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Nó cho biết phạm vi mà dữ liệu trải rộng. Công thức tính khoảng biến thiên (R) như sau:

R = X_max - X_min

Trong đó:

X_max là giá trị lớn nhất trong mẫu số liệu.
X_min là giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.

Khoảng biến thiên dễ tính nhưng nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ (outliers).

2. Phương sai (Variance)

Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị trong một mẫu số liệu so với giá trị trung bình. Phương sai được tính bằng công thức:

S² = ∑(x_i - x̄)² / (n - 1)

Trong đó:

x_i là giá trị thứ i trong mẫu số liệu.
x̄ là giá trị trung bình của mẫu số liệu.
n là số lượng giá trị trong mẫu số liệu.

Phương sai luôn là một số không âm. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của dữ liệu, nhưng có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc, giúp dễ dàng diễn giải hơn. Công thức tính độ lệch chuẩn (S) như sau:

S = √S² = √[∑(x_i - x̄)² / (n - 1)]

Độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán.

Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một mẫu số liệu về chiều cao của 5 học sinh (đơn vị: cm): 160, 165, 170, 175, 180.

Tính khoảng biến thiên: R = 180 - 160 = 20 cm.
Tính giá trị trung bình: x̄ = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170 cm.
Tính phương sai: S² = [(160-170)² + (165-170)² + (170-170)² + (175-170)² + (180-170)²] / (5-1) = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) / 4 = 62.5 cm².
Tính độ lệch chuẩn: S = √62.5 ≈ 7.91 cm.

Kết quả cho thấy, chiều cao của các học sinh có khoảng biến thiên là 20 cm, phương sai là 62.5 cm² và độ lệch chuẩn là 7.91 cm.

Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

So sánh mức độ đồng nhất của các tập dữ liệu khác nhau.
Đánh giá rủi ro trong tài chính.
Kiểm soát chất lượng trong sản xuất.
Phân tích dữ liệu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau.

Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính khoảng biến thiên, phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu sau: 10, 12, 15, 18, 20.
Bài 2: So sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu sau: Mẫu 1: 5, 7, 9, 11, 13; Mẫu 2: 1, 4, 7, 10, 13.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm. Chúc bạn học tốt!