Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3 trong chương 5 của sách Toán 12 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc tìm hiểu phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

I. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có khoảng cách đến một điểm cố định (tâm của mặt cầu) bằng một độ dài không đổi (bán kính của mặt cầu). Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm I(a, b, c) và bán kính R được biểu diễn như sau:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

II. Các dạng phương trình mặt cầu thường gặp

Phương trình chính tắc: Khi tâm mặt cầu trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0), phương trình trở thành: x² + y² + z² = R²
Phương trình tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, với điều kiện a² + b² + c² - d > 0. Trong đó, tâm I(a, b, c) và bán kính R = √(a² + b² + c² - d)

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1, -2, 3) và bán kính R = 5.

Giải: Áp dụng phương trình tổng quát của mặt cầu, ta có:

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 5²

(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 25

Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0

Giải: So sánh với phương trình tổng quát, ta có:

a = 2
b = -1
c = 3
d = 5

Vậy tâm I(2, -1, 3) và bán kính R = √(2² + (-1)² + 3² - 5) = √6

IV. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Chuyển phương trình về dạng chính tắc hoặc sử dụng công thức tính tâm và bán kính từ phương trình tổng quát.
Lập phương trình mặt cầu: Sử dụng phương trình tổng quát hoặc chính tắc, thay các giá trị tâm và bán kính đã cho.
Kiểm tra một điểm thuộc mặt cầu: Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu. Nếu phương trình thỏa mãn, điểm thuộc mặt cầu.
Bài toán liên quan đến khoảng cách: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt cầu.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn để rèn luyện kỹ năng giải toán.

VI. Kết luận

Bài 3. Phương trình mặt cầu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!