Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Khái niệm đường phân giác của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm nằm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Ví dụ, trong tam giác ABC, đường phân giác của góc A là đường thẳng AD, với D nằm trên BC và ∠BAD = ∠CAD.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Đây là nội dung trọng tâm của bài học. Tính chất này được phát biểu như sau:

Tính chất 1: Nếu một đường thẳng chia một cạnh của tam giác thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh còn lại thì đường thẳng đó là đường phân giác của góc đối diện.
Tính chất 2: Nếu AD là đường phân giác của tam giác ABC thì AB/AC = BD/DC. Đây là một công thức quan trọng cần ghi nhớ và áp dụng trong các bài toán liên quan.

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Chứng minh tính chất này dựa trên việc sử dụng các tam giác đồng dạng và các tính chất về tỉ lệ thức. Việc hiểu rõ chứng minh sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bản chất của tính chất này.

Chứng minh Tính chất 2:

Kẻ đường thẳng BE song song với AD (E nằm trên AC).
Xét tam giác ADC và tam giác BEC. Ta có: ∠DAC = ∠EBC (so le trong), ∠ACD = ∠BCE (góc chung), và ∠ADC = ∠BEC (đồng vị).
Suy ra tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (g-g).
Từ đó, ta có tỉ lệ: AD/BE = AC/BC = DC/EC.
Xét tam giác ABE, ta có AD là đường phân giác nên AB/BD = AE/ED.
Kết hợp các tỉ lệ trên, ta suy ra AB/AC = BD/DC.

4. Ví dụ minh họa và bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Gọi AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính độ dài BD và DC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: AB/AC = BD/DC => 6/9 = BD/DC => BD/DC = 2/3. Mà BD + DC = BC = 12cm. Giải hệ phương trình này, ta được BD = 8cm và DC = 4cm.

Bài tập 1: Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 7cm, NP = 9cm. Gọi MI là đường phân giác của góc NMP (I thuộc NP). Tính độ dài NI và IP.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AB/AC = 3/5. Gọi E là giao điểm của AD và đường phân giác góc BAC. Chứng minh rằng AE/ED = AB/AC.

5. Mở rộng và liên hệ

Tính chất đường phân giác của tam giác có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức và tam giác đồng dạng. Ngoài ra, nó còn có liên hệ mật thiết với các khái niệm khác như đường trung tuyến, đường cao của tam giác.

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về tính chất đường phân giác, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau với các mức độ khó khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong sách giáo khoa, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất đường phân giác của tam giác và áp dụng nó vào giải các bài toán một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!