Bài 3. Tính chất đường phân giác trong của tam giác

1. Khái niệm đường phân giác trong tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác trong là đoạn thẳng nối đỉnh của một góc với điểm chia đôi cạnh đối diện. Ví dụ, trong tam giác ABC, đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A sẽ chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BD = CD, với D là điểm nằm trên BC.

2. Tính chất đường phân giác trong của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác trong tam giác được thể hiện qua định lý sau:

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.

Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc BAC (với D nằm trên BC) thì:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh định lý

Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB qua điểm D, cắt AC tại E. Khi đó:

DE // AB => Góc ADE = Góc BAC (so le trong)
Góc EAD = Góc BAC (chung)

Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC (g-g). Từ đó suy ra:

DE/AB = AD/AC

Lại có, do DE // AB nên theo định lý Thalès trong tam giác ABC, ta có:

CD/BD = AC/AB

Suy ra BD/CD = AB/AC, chính là định lý cần chứng minh.

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất đường phân giác trong tam giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức. Một số ứng dụng phổ biến:

Tính độ dài các đoạn thẳng: Cho biết độ dài các cạnh của tam giác và vị trí của điểm chia trên cạnh đối diện, ta có thể tính được độ dài các đoạn thẳng đó.
Chứng minh các đẳng thức: Sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh các đẳng thức liên quan đến tỉ lệ thức.
Giải các bài toán thực tế: Áp dụng tính chất đường phân giác vào giải các bài toán liên quan đến hình học trong thực tế.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Gọi AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính độ dài BD và CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có:

BD/CD = AB/AC = 6/9 = 2/3

Mà BD + CD = BC = 12cm. Đặt BD = 2x, CD = 3x. Ta có:

2x + 3x = 12cm => 5x = 12cm => x = 2.4cm

Vậy BD = 2 * 2.4cm = 4.8cm và CD = 3 * 2.4cm = 7.2cm.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính chất đường phân giác trong tam giác, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như giaitoan.edu.vn.

Chúc các em học tập tốt!