Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Trong hình học, việc hiểu rõ mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác là vô cùng quan trọng. Bài 31 trong sách giáo khoa Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào một mối quan hệ cơ bản nhưng thiết yếu: mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

1. Định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Định lý 1: Trong một tam giác, cạnh lớn nhất đối diện với góc lớn nhất.

Định lý 2: Trong một tam giác, góc lớn nhất đối diện với cạnh lớn nhất.

Nói cách khác, nếu trong tam giác ABC, ta có AB > AC thì ∠C > ∠B. Và ngược lại, nếu ∠A > ∠B thì BC > AC.

2. Chứng minh định lý (Ví dụ với Định lý 1)

Giả thiết: Tam giác ABC, AB > AC.

Kết luận: ∠C > ∠B.

Chứng minh:

1. Trên cạnh AB, lấy điểm D sao cho AD = AC.
2. Khi đó, tam giác ADC cân tại A, suy ra ∠ADC = ∠ACD.
3. Vì AB > AC (giả thiết) và AD = AC nên BD > 0.
4. Trong tam giác BCD, ta có BD > CD (vì BD > AD = AC và AC = CD).
5. Suy ra ∠BCD > ∠DBC (góc đối diện cạnh lớn hơn).
6. Ta có ∠C = ∠ACD + ∠BCD và ∠B = ∠DBC.
7. Do đó, ∠C > ∠B.

3. Hệ quả của định lý

Hệ quả 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Hệ quả 2: Trong một tam giác đều, ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, AC = 6cm. Hãy xác định góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tam giác.

Giải:

Vì BC > AC > AB nên ∠A > ∠B > ∠C.

Vậy góc lớn nhất là ∠A và góc nhỏ nhất là ∠C.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, biết ∠A = 80°. Tính số đo các góc B và C.

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A nên ∠B = ∠C.

Ta có ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Suy ra 80° + 2∠B = 180°.

Vậy ∠B = ∠C = 50°.

5. Ứng dụng của định lý trong thực tế

Định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Trong kiến trúc, giúp tính toán độ dốc của mái nhà, đảm bảo sự vững chắc của công trình.
• Trong hàng hải, giúp xác định vị trí của tàu trên biển.
• Trong đo đạc, giúp tính toán khoảng cách giữa các điểm.

6. Lời khuyên khi học bài

Để nắm vững kiến thức về bài 31, các em nên:

• Đọc kỹ lý thuyết trong sách giáo khoa.
• Vẽ hình minh họa để hiểu rõ hơn về định lý.
• Làm đầy đủ các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử.
• Tìm hiểu thêm các ứng dụng của định lý trong thực tế.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Chúc các em học tốt!