Bài 4. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Trong thống kê, việc mô tả một tập dữ liệu không chỉ dừng lại ở việc tìm các giá trị trung tâm như trung bình cộng, trung vị, mốt. Để hiểu rõ hơn về sự phân tán của dữ liệu, chúng ta cần sử dụng các số đặc trưng đo mức độ phân tán. Bài 4 trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 sẽ đi sâu vào các khái niệm và cách tính toán các số đặc trưng này.

1. Khoảng biến thiên (Range)

Khoảng biến thiên là một số đặc trưng đơn giản nhất để đo mức độ phân tán. Nó được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu.

Công thức: R = X_max - X_min

Ưu điểm: Dễ tính toán và dễ hiểu.

Nhược điểm: Rất nhạy cảm với các giá trị ngoại lệ (outliers). Một giá trị ngoại lệ có thể làm tăng đáng kể khoảng biến thiên, gây sai lệch trong đánh giá.

2. Phương sai (Variance)

Phương sai là một số đặc trưng quan trọng hơn khoảng biến thiên, vì nó xem xét tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị xung quanh giá trị trung bình.

Công thức:

Phương sai mẫu (s²): s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)
Phương sai tổng thể (σ²): σ² = Σ(x_i - μ)² / N

Trong đó:

x_i là giá trị thứ i trong mẫu số liệu
x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu
μ là trung bình cộng của tổng thể
n là kích thước mẫu
N là kích thước tổng thể

Ưu điểm: Xem xét tất cả các giá trị trong mẫu, ít nhạy cảm với giá trị ngoại lệ hơn khoảng biến thiên.

Nhược điểm: Đơn vị của phương sai là bình phương của đơn vị gốc, gây khó khăn trong việc diễn giải.

3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Nó đo lường mức độ phân tán của các giá trị xung quanh giá trị trung bình, nhưng có đơn vị giống với đơn vị gốc của dữ liệu, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

Công thức:

Độ lệch chuẩn mẫu (s): s = √s²
Độ lệch chuẩn tổng thể (σ): σ = √σ²

Ưu điểm: Dễ diễn giải, cung cấp thông tin trực quan về mức độ phân tán của dữ liệu.

Nhược điểm: Vẫn nhạy cảm với giá trị ngoại lệ, mặc dù ít hơn khoảng biến thiên.

4. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một mẫu số liệu về chiều cao của 5 học sinh (đơn vị: cm): 160, 165, 170, 175, 180.

Khoảng biến thiên: R = 180 - 160 = 20 cm
Trung bình cộng: x̄ = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170 cm
Phương sai mẫu: s² = [(160-170)² + (165-170)² + (170-170)² + (175-170)² + (180-170)²] / (5-1) = 25
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √25 = 5 cm

Kết quả cho thấy chiều cao của các học sinh có khoảng biến thiên là 20 cm và độ lệch chuẩn là 5 cm. Điều này có nghĩa là chiều cao của các học sinh phân tán xung quanh giá trị trung bình 170 cm với mức độ phân tán trung bình là 5 cm.

5. Ứng dụng của các số đặc trưng đo mức độ phân tán

Các số đặc trưng đo mức độ phân tán có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

So sánh sự biến động của các tập dữ liệu khác nhau: Ví dụ, so sánh mức độ biến động của giá cổ phiếu của hai công ty khác nhau.
Kiểm soát chất lượng: Xác định xem một quy trình sản xuất có ổn định hay không bằng cách theo dõi phương sai của sản phẩm.
Phân tích rủi ro: Đánh giá mức độ rủi ro của một khoản đầu tư bằng cách xem xét độ lệch chuẩn của lợi nhuận.

Hiểu rõ về các số đặc trưng đo mức độ phân tán là rất quan trọng để phân tích và diễn giải dữ liệu một cách chính xác và hiệu quả. Bài 4 trong SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và cần thiết để bắt đầu hành trình khám phá thế giới thống kê.