Bài 4. Hai hình đồng dạng

Bài 4. Hai hình đồng dạng - SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

1. Khái niệm hai hình đồng dạng

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có cùng hình dạng nhưng kích thước khác nhau. Điều này có nghĩa là một hình có thể thu được từ hình kia bằng phép biến hình bao gồm một phép vị tự và một phép dời hình. Để hai hình đồng dạng, tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng của chúng phải bằng nhau.

2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Có ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác:

Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh)
Trường hợp 2: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh)
Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. (góc-góc)

3. Tính chất của các tam giác đồng dạng

Khi hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng tỉ lệ, các góc tương ứng bằng nhau. Điều này có nghĩa là nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C', thì:

AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'
∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'

4. Ứng dụng của việc đồng dạng tam giác trong giải toán

Việc nhận biết và chứng minh hai tam giác đồng dạng là một công cụ mạnh mẽ trong giải toán hình học. Nó giúp chúng ta:

Tính độ dài các đoạn thẳng chưa biết.
Tính các góc chưa biết.
Chứng minh các tính chất hình học.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, CA = 10cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi là 36cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Giải:

Chu vi của tam giác ABC là: 6 + 8 + 10 = 24cm

Tỷ số chu vi của hai tam giác là: 36/24 = 3/2

Vì hai tam giác đồng dạng, tỷ số các cạnh tương ứng bằng tỷ số chu vi:

A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA = 3/2

Suy ra:

A'B' = (3/2) * 6 = 9cm
B'C' = (3/2) * 8 = 12cm
C'A' = (3/2) * 10 = 15cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi D là điểm trên BC sao cho BD = 1cm. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ABC.

Giải:

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC, ta có: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm

Xét tam giác ABD và tam giác ABC, ta có:

∠B chung
AB/BC = 3/5
BD/AB = 1/3

Do đó, tam giác ABD không đồng dạng với tam giác ABC theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.

Tuy nhiên, ta có thể chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác CBA theo trường hợp góc-góc. ∠ABD = ∠CBA và ∠BAD = ∠BCA (do tam giác ABC vuông tại A).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hai hình đồng dạng, các em nên làm thêm nhiều bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc nhận biết các trường hợp đồng dạng và áp dụng các tính chất của tam giác đồng dạng để giải toán.

Chúc các em học tập tốt!