Bài 4. Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 4 trong chương 8 Toán 8 Cánh diều tập 2 tập trung vào việc khám phá và chứng minh tính chất quan trọng của đường phân giác trong một tam giác. Đường phân giác không chỉ là một đường thẳng chia góc của tam giác thành hai phần bằng nhau mà còn liên quan mật thiết đến tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là tia phân giác của góc đó. Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác được phát biểu như sau:

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Cụ thể, nếu AD là đường phân giác của góc BAC trong tam giác ABC (D nằm trên BC) thì:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất này, ta thường sử dụng phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng. Cụ thể:

Vẽ đường thẳng song song với AB qua C, cắt AD tại E.
Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác ABD (góc-góc).
Suy ra tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng: AC/AB = AE/BD
Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác CDE (góc-góc).
Suy ra tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng: AE/CD = AD/CE
Kết hợp các tỷ lệ trên để chứng minh BD/CD = AB/AC

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỷ lệ cạnh. Một số ứng dụng phổ biến bao gồm:

Tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh của tam giác khi biết độ dài các cạnh còn lại và đường phân giác.
Chứng minh một đường thẳng là đường phân giác của một góc trong tam giác.
Giải các bài toán thực tế liên quan đến tam giác và đường phân giác.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, đường phân giác AD chia BC thành hai đoạn BD = 4cm và CD = 6cm. Tính độ dài cạnh BC.

Giải: Ta có BC = BD + CD = 4cm + 6cm = 10cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, đường phân giác AD chia BC thành hai đoạn BD và CD. Biết BD = 3cm. Tính độ dài CD.

Giải: Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD/CD = AB/AC

3/CD = 5/7

CD = (3 * 7) / 5 = 4.2cm

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính chất đường phân giác, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ bản chất của tính chất và cách áp dụng nó vào giải các bài toán cụ thể.

7. Kết luận

Bài 4. Tính chất đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!