Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện

Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

I. Khái niệm cơ bản

Trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Để xác định góc này, ta cần hiểu rõ về hình chiếu của đường thẳng và cách tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu.

Góc nhị diện là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng có chung một đường thẳng. Góc nhị diện được đo bằng góc giữa hai đường thẳng vuông góc với bờ chung của hai nửa mặt phẳng đó.

II. Phương pháp giải bài tập

1. Xác định các yếu tố liên quan: Đường thẳng, mặt phẳng, hình chiếu của đường thẳng, bờ chung của hai nửa mặt phẳng.
2. Sử dụng các công thức:
   • sin α = d(A, (P)) / AA' (với α là góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (P), d(A, (P)) là khoảng cách từ A đến (P), AA' là độ dài đường thẳng).
   • cos φ = (a.b) / (|a||b|) (với φ là góc giữa hai vector a và b).
3. Áp dụng các định lý và tính chất: Định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tính chất của góc nhị diện.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Giải: Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 90 độ.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Tính góc nhị diện của hai mặt phẳng (P) và (Q) khi AB vuông góc với d.

Giải: Vì AB vuông góc với d nên góc nhị diện của hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90 độ.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).
• Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo đường thẳng d. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Tính góc nhị diện của hai mặt phẳng (P) và (Q) khi AB tạo với d một góc 60 độ.

V. Kết luận

Bài 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các khái niệm và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Chúc các em học tập tốt!