Bài 5. Phân thức đại số

Phân thức đại số là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 8, đặt nền móng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm phân thức đại số, điều kiện xác định, các tính chất và các phép toán cơ bản trên phân thức, dựa trên nội dung sách giáo khoa Toán 8 tập 1, Chân trời sáng tạo.

1. Khái niệm phân thức đại số

Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng P/Q, trong đó P và Q là các biểu thức đại số, và Q khác 0. P được gọi là tử số, Q được gọi là mẫu số.

Ví dụ:

x + 1 / x - 2
3a² / 2b
5 / x² + 1

2. Điều kiện xác định của phân thức đại số

Điều kiện xác định của một phân thức đại số là các giá trị của biến sao cho mẫu số khác 0. Việc xác định điều kiện xác định là rất quan trọng, vì nếu mẫu số bằng 0, phân thức không có nghĩa.

Ví dụ:

Phân thức x + 1 / x - 2 có điều kiện xác định là x ≠ 2.

3. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Tính chất cơ bản của phân thức đại số là:

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một biểu thức khác 0, thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu.
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một biểu thức khác 0, thì phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

Ví dụ:

Phân thức 2x / 4y bằng phân thức x / 2y (chia cả tử và mẫu cho 2).

4. Các phép toán trên phân thức đại số

Các phép toán cơ bản trên phân thức đại số bao gồm:

Phép cộng: Để cộng hai phân thức, chúng phải có cùng mẫu số. Nếu không, ta cần quy đồng mẫu số trước khi cộng.
Phép trừ: Tương tự như phép cộng, hai phân thức phải có cùng mẫu số trước khi trừ.
Phép nhân: Để nhân hai phân thức, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau.
Phép chia: Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức bị chia với nghịch đảo của phân thức chia.

5. Bài tập ví dụ

Bài 1: Rút gọn phân thức (x² - 1) / (x + 1)

Giải:

(x² - 1) / (x + 1) = (x - 1)(x + 1) / (x + 1) = x - 1 (với x ≠ -1)

Bài 2: Thực hiện phép cộng 1 / (x + 1) + 1 / (x - 1)

Giải:

1 / (x + 1) + 1 / (x - 1) = (x - 1) / ((x + 1)(x - 1)) + (x + 1) / ((x + 1)(x - 1)) = (x - 1 + x + 1) / ((x + 1)(x - 1)) = 2x / (x² - 1) (với x ≠ 1 và x ≠ -1)

6. Kết luận

Bài học về phân thức đại số cung cấp những kiến thức nền tảng quan trọng cho việc học toán ở các lớp trên. Việc nắm vững khái niệm, điều kiện xác định, tính chất và các phép toán trên phân thức sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.