Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết Phân thức đại số thuộc chương trình Toán 8 - Chân trời sáng tạo tại giaitoan.edu.vn. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức nền tảng, định nghĩa, tính chất và các ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ về phân thức đại số.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học tập trực tuyến hiệu quả, với nội dung được trình bày một cách dễ hiểu và logic. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của phân thức đại số!
Phân thức đại số là gì?
1. Khái niệm phân thức đại số
Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.
Ví dụ: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}};\frac{{ab}}{{a + b}};{x^2} + 3x + 2;\sqrt 2 \) là các phân thức đại số.
\(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là phân thức vì \(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là đa thức.
2. Điều kiện xác định của phân thức
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.
Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (sao cho phân thức xác định), rồi thực hiện các phép tính thì ta nhận được giá trị của phân thức đại số đó tại các giá trị của biến.
Ví dụ: Phân thức P = \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}}\) xác định khi \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\)
Tại x = 3, \(P = \frac{{3 + 3}}{{3 - 1}} = \frac{6}{2} = 3\)
3. Hai phân thức bằng nhau
Ta nói hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau nếu A.D = B.C. Khi đó, ta viết
\(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\).
Ví dụ: Hai phân thức \(\frac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) và \(\frac{{xy}}{{x + 1}}\) bằng nhau.
4. Tính chất
Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A.C}}{{B.C}}\) (C là một đa thức khác đa thức không).
Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A:D}}{{B:D}}\) (D là một đa thức nhân tử chung).
Ví dụ: Để biến đổi phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) thành \(\frac{{ - 1}}{{x + y}}\), ta chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) cho y – x, khi đó \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)
Phân thức đại số là một khái niệm quan trọng trong đại số lớp 8, là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về phân thức đại số theo chương trình SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập liên quan.
Một phân thức đại số là biểu thức có dạng P/Q, trong đó P và Q là các đa thức, và Q khác 0. P được gọi là tử số, Q được gọi là mẫu số.
Ví dụ:
Một phân thức đại số chỉ có nghĩa khi mẫu số khác 0. Điều kiện xác định của phân thức P/Q là Q ≠ 0.
Ví dụ:
Hai phân thức P/Q và R/S được gọi là bằng nhau nếu P/Q = R/S. Điều này xảy ra khi PS = QR.
Tính chất quan trọng:
a) Rút gọn phân thức:
Để rút gọn phân thức P/Q, ta phân tích tử số P và mẫu số Q thành nhân tử, sau đó chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
Ví dụ:
(x2 - 1) / (x + 1) = (x - 1)(x + 1) / (x + 1) = x - 1 (với x ≠ -1)
b) Quy đồng mẫu thức:
Để quy đồng mẫu thức của hai phân thức P/Q và R/S, ta tìm mẫu chung nhỏ nhất (MCN) của Q và S, sau đó biến đổi mỗi phân thức thành phân thức có mẫu là MCN.
a) Phép cộng và phép trừ:
Để cộng hoặc trừ hai phân thức có cùng mẫu số, ta cộng hoặc trừ các tử số và giữ nguyên mẫu số.
P/Q + R/Q = (P + R) / Q
P/Q - R/Q = (P - R) / Q
b) Phép nhân:
Để nhân hai phân thức, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau.
P/Q * R/S = (P * R) / (Q * S)
c) Phép chia:
Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai.
P/Q : R/S = P/Q * S/R = (P * S) / (Q * R)
Hãy giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về phân thức đại số:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Phân thức đại số SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
